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入試問題から

耕一　四次方程式の解法になる入試問題を見つけました.

例 1.2.1   ［99富山大］    

次の問いに答えよ.

1. 等式
   
   $$x^4+x^2-4x-3=(x^2+a)^2-b(x+c)^2$$
   
   
   が $x$ についての恒等式であるように実数 $a,\ b,\ c$ を定めよ.
2. 方程式
   
   $$x^4+x^2-4x-3=0$$
   
   
   の解を求めよ.

南海　よく見つけた．この解法は？

耕一　次のようにしました.

1. 与えられた等式の右辺は
   $$\begin{eqnarray*} (右辺)&=&(x^4+2ax^2+a^2)-b(x^2+2cx+c^2)\\ &=&x^4+(2a-b)x^2-2bcx+a^2-bc^2 \end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって,恒等式になるために係数を比較して,
   
   $$\left\{ \begin{array}{l} 1=2a-b\\ 2=bc\\ -3=a^2-bc^2 \end{array} \right.$$
   
   
   これから $a$ と $c$ を消去すると
   
   $$b^3+2b^2+13b-16=0 \quad \Rightarrow \quad (b-1)(b^2+3b+16)=0 \quad \cdots \maru{1}$$
   
   
   $a,\ b,\ c$ は実数であるから $b=1$ となり
   
   $$a=1,\ b=1,\ c=2$$
   
   
   となる.
2. (1)から
   $$\begin{eqnarray*} x^4+x^2-4x-3&=&(x^2+1)^2-(x+2)^2\\ &=&\{(x^2+1+(x+2)\}\{(x^2+1-(x+2)\}\\ &=&(x^2+x+3)(x^2-x-1) \end{eqnarray*}$$
   
   
   これから
   
   $$x=\dfrac{-1\pm \sqrt{11}i}{2},\ \dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$
   
   
   となる.