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1の7乗根

耕一　次の問題をしました．

例 1.3.1   ［98小樽商大］

$$\theta= \dfrac{2\pi}{7},\,\alpha=\cos \theta + i \sin \theta , \,\beta=\alpha + \alpha^2 +\alpha^4$$

のとき，以下の問いに答えよ．

1. $\overline{\alpha}=\alpha ^6$ を示せ．
2. $\beta+\overline{\beta},\,\beta \overline{\beta}$ を求めよ．
3. $\sin \theta +\sin 2 \theta+ \sin 4 \theta$ を求めよ．

耕一　解いてみます．

1. $\alpha^7=1$ より $\alpha^6=\dfrac{1}{\alpha}$ ． 一方， $\vert\alpha\vert=1$ より $\overline{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha}$ ．
   
   $$∴ \quad \overline{\alpha}=\alpha ^6$$
   
   

2. 
   
   $$\alpha^7-1=(\alpha-1)(\alpha^6+\alpha^5+\cdots+\alpha+1)=0$$
   
   
   $\alpha\ne 1$ なので
   
   $$\alpha^6+\alpha^5+\cdots+\alpha+1=0$$
   
   
   また
   $$\begin{eqnarray*} \overline{\beta}&=&\overline{\alpha} + \overline{\alpha}^2 +\... ...pha^6+\alpha^{12}+\alpha^{24}\\ &=&\alpha^6+\alpha^5+\alpha^3 \end{eqnarray*}$$
   
   
   ゆえに
   $$\begin{eqnarray*} \beta+\overline{\beta}&=&-1\\ \beta \overline{\beta}&=&(\al... ...lpha^9+\alpha^7)\\ &=&2+(\alpha^6+\alpha^5+\cdots+\alpha+1)=2 \end{eqnarray*}$$
   
   

3. $\beta$ と $\overline{\beta}$ は二次方程式
   
   $$t^2+t+2=0$$
   
   
   の二つの解である．
   
   $$∴ \quad \beta,\ \overline{\beta}=\dfrac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} \beta&=&\alpha + \alpha^2 +\alpha^4\\ &=&(\cos \theta +\cos... ...+ \cos 4 \theta) +i(\sin \theta +\sin 2 \theta+ \sin 4 \theta) \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから
   
   $$\sin \theta +\sin 2 \theta+ \sin 4 \theta=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$$
   
   
   ところが
   
   $$\sin \theta +\sin 4 \theta=2\sin\dfrac{5}{2}\theta \cos \dfrac{3}{2}\theta>0$$
   
   
   なので
   
   $$\sin \theta +\sin 2 \theta+ \sin 4 \theta=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$$
   
   

耕一　 この問題で $\beta=\alpha + \alpha^2 +\alpha^4$ と置いたのですが， なぜこのようにとるとうまくいくのかわかりません． $\beta=\alpha + \alpha^2 +\alpha^3$ では $\beta\overline{\beta}$ が実数になりません．

南海　 なるほど． 出題者はなぜこのような和を作ったのかということだ．

耕一　 同じことを1の11乗根でやってみました．

$\theta= \dfrac{2\pi}{11},\,\alpha=\cos \theta + i \sin \theta$として， 上の場合 $\alpha$ ，$\alpha^2$， $\alpha^4$ ときたのでまねをして，

$$\beta=\alpha + \alpha^2 +\alpha^4+\alpha^8+ \alpha^{16} =\alpha + \alpha^2 +\alpha^4+\alpha^8+ \alpha^5$$

としました．そして $\beta\overline{\beta}$ を計算してみたのです．でも簡単な数にならないのです．

$$\begin{eqnarray*} &&\beta \overline{\beta}\\ &=&(\alpha + \alpha^2 +\alpha^4+... ... +3(\alpha^3+\alpha^4+\alpha^7+\alpha^8)+2(\alpha^9+\alpha^{10}) \end{eqnarray*}$$

なぜなのでしょう．

南海　 このからくりを知るためには， $\beta$ を構成する $\alpha$ のべきを途中で切らずに最後まで書いてみればよい．

$$\begin{eqnarray*} p=7&:&\{\alpha,\ \alpha^2,\ \alpha^4,\ \alpha^8(=\alpha)\}\\ ... ...lpha^9,\ \alpha^7,\ \alpha^3,\ \alpha^6,\ \alpha^{12}(=\alpha)\} \end{eqnarray*}$$

となるから， $p=11$ のときに作った $\beta$ は尻切れトンボだったのだ．

$p=11$ のとき， $2^n-1$ が $p$ の倍数になるのは $n=10=p-1$ が最初だけれど，

$p=7$ のとき, $2^n-1$ が $p$ の倍数になるのは $n=6=p-1$ が最初ではなく $n=3$ ですでになってしまう．だからちょうど $\beta$ と $\overline{\beta}$ の積がきれいになった． $p=11$ のときはすべて加えないときれいにならない．

「2は11を法とする原始根であるが，7を法としたときは原始根でない」という事実がある． 詳しくは整数論の入門書を読んでみるといいだろう．

そこでせっかく1のべき根に関する質問が出されたので， 1の17乗根を求める方法を紹介しよう．

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