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1の5乗根の計算

南海　 さて $p=7$ の場合， $\beta$ を 求めることはできた． $p=11$ の場合はこのようなことはできない．

逆にある種の $p$ では， $\beta$ を求めることができてさらにそこからさかのぼって もとの $\alpha$ を求めることができる．

耕一　 $p$ 乗根 $\alpha$ 自体が求まる，ということですね．5乗根はやったことがあります．

南海　 では，まず1の5乗根の計算を復習しよう． $p=5$ は上のどちらの型かな．

耕一　 $\theta= \dfrac{2\pi}{5},\,\alpha=\cos \theta + i \sin \theta$ とします．

$$\alpha,\ \alpha^2,\ \alpha^4,\ \alpha^8(=\alpha^3),\ \alpha^{16}(=\alpha)$$

なので途中では $\alpha$ に戻りません．

$\alpha$ を求めます．

$\alpha^4=\overline{\alpha}$ です．両辺2乗してから $\alpha^8(=\alpha^3)=\overline{\alpha^2}$ です．

また $\alpha\overline{\alpha }=1$ です．

$$\begin{eqnarray*} \alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1&=&\overline{\alpha}+\over... ...\ ∴ \quad \alpha+\overline{\alpha}&=&\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$$

したがって $\alpha$ と $\overline{\alpha}$ は二次方程式

$$t^2- \left(\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \right)t+1=0$$

の解である．これを解いて

$$\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}\pm\dfrac{\sqrt{10\pm2\sqrt{5}}}{4}i \quad (第1と第3の複号同順)$$

$\alpha$ は実部，虚部ともに正なので，

$$\alpha=\cos \dfrac{2\pi}{5} + i \sin \dfrac{2\pi}{5} =\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}+\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i$$