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整数係数の整式

耕一　 次の問題の別解などをいろいろ考えました．出典は不明なのですが，どこかの大学の過去問題だと思います．

例 1.5.1

1. 最高次数の係数が1の整数係数の整式
   
   $$f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
   
   
   が有理数 $\alpha$ を用いて
   
   $$f(x)=(x-\alpha)Q(x)$$
   
   
   と因数分解された．このとき $\alpha$ は整数であることを示せ．
2. さらに係数 $a_{n-1},\ a_{n-2},\ \cdots,\ a_0$がすべて素数 $p$ の倍数であるとする．このとき，
   1. 方程式$f(x)=0$が整数解$\alpha$をもてば， $\alpha$は$p$ で割り切れることを示せ．
   2. $a_0$が$p^2$ で割り切れなければ， 方程式 $f(x)=0$ は有理数解を持たないことを示せ．

これを一通り解きました．

解答

1. $\alpha=\dfrac{p}{q}\ (p,\ qは互いに素な整数，q>0)$ とおく． $f(\alpha)=0$ なので
   
   $$\left(\dfrac{p}{q} \right)^n+a_{n-1}\left(\dfrac{p}{q} \right)^{n-1}+\cdots+a_0=0$$
   
   
   これから
   
   $$\dfrac{p^n}{q}=-a_{n-1}p^{n-1}-\cdots-a_0q^{n-1}$$
   
   
   $p^n$ と $q$ も互いに素で右辺は整数であるから $q=1$ ．

   よって $\alpha$ は整数である．

2. 1. 
      
      $$\alpha ^n=-(a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_0)$$
      
      
      より $\alpha ^n$ が $p$ の倍数であり， $\alpha$ が $p$ の倍数であることがわかる．
   2. 対偶を示す．

      $f(x)=0$ が有理数解を持てば(1)からそれは整数解である．

      整数解は $p$ の倍数である．このとき，
      

      $$a_0=-(\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha)$$
      
      
      右辺は $p^2$ の倍数である．従って $a_0$ は $p^2$ の倍数となる． つまり対偶が示せたので，題意が示された．

南海　 これはこれで立派な解答だ． 整数係数でしかも最高次数の係数が1である整式は，入試問題のテーマとしてつねに登場する． この解答以外の方法や，この問題の意義について考えてみるのはよいことだ．

別解を考えようとしたというが，どのような方向で考えたのか．

耕一　 はい．$\alpha$を方程式の解として考える以外に，整式の因数分解の問題で考えられないか と思いました．

$\alpha=\dfrac{p}{q}\ (p,\ qは互いに素な整数，q>0)$ とおく．$x-\alpha$ で割り切れることは，係数が整数に1次式にすると$qx-p$で割り切れることと同値です． そこで

$$f(x)=(qx-p)S(x)$$

とおいて見ました．$S(x)$は有理数係数の整式です．

そこで質問ですが，もし別の方向から上の$S(x)$が整数係数であることが示せたら， $qb_{n-1}=1$から$q=1$がわかります．

南海　 実は，整数係数の整式が，有理数係数の整式に因数分解できれば，その係数は整数でとれる ということがガウスによって示されているのだ．今の場合$qx-p$の係数は互いに素 なので，ここからくくって$S(x)$全体にかける整数はないので，$S(x)$自身が整数係数なのだ．

それが「原始多項式」の理論だ．

ところで，整式の既約性という問題は数の場合と違ってやや複雑である． 例えば，$f(x)=x^4-4$ は有理数の範囲で考えると $f(x)=(x^2-2)(x^2+2)$までしか分解できないが， 実数の範囲では $f(x)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2+2)$ と分解でき， 複素数の範囲では $f(x)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i)$ と一次式に分解される．

このようにどの範囲で考えるかで，分解される範囲が異なる．複素数まで考えれば一次式の積に 分解される．

いま考えているのは，「有理数の範囲で因数に分解できれば実は整数の範囲で分解できる」 ことが示せないかということだ．