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三次方程式を解く（その2）

南海　 上の例は二次方程式を解く部分で実数解をもったが，そこで虚数解をもつ場合もやってみよう．

三次方程式として

$$x^3-3x+1=0$$

を上と同様にやってみよう．

耕一　 はい．

$$\left\{ \begin{array}{l} -3yz=-3\\ y^3+z^3=1 \end{array}\right.$$

となる $y$ と $z$ が見つかればよい. $z=\dfrac{1}{y}$ なので

$$y^3+ \left(\dfrac{1}{y} \right)^3=1 \quad \Rightarrow \quad (y^3)^2-y^3+1=0$$

これから

$$y^3=\dfrac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$$

$z^3=\dfrac{1}{y^3}$ なので $z^3=\bar{y^3}$

$$y^3=\dfrac{1+ \sqrt{3}i}{2} \quad ,\ z^3=\dfrac{1- \sqrt{3}i}{2}$$

とする.極形式では

$$y^3=\cos \dfrac{\pi}{3}+i \sin \dfrac{\pi}{3} \quad ,\ z^3=\cos \dfrac{5\pi}{3}+i \sin \dfrac{5\pi}{3}$$

である. よって，同様の考察から$yz=1$となるように$y$と$z$の3乗根を一つずつ選ぶ．いずれを選んでも 同じ3根が得られることに注意しよう．

$$y=\cos \dfrac{\pi}{9}+i \sin \dfrac{\pi}{9} \quad ,\ z=\cos \dfrac{17\pi}{9} +i \sin \dfrac{17\pi}{9}$$

としてよい.したがって

$$\begin{eqnarray*} x&=&- \left(\cos \dfrac{\pi}{9}+i \sin \dfrac{\pi}{9}\right) ... ...\pi}{9}+\sin \dfrac{14\pi}{9} \right) =2\cos \dfrac{4\pi}{9}\\ \end{eqnarray*}$$

できました．今は具体的に考えたので作れましたが一般に，三次方程式が 重解をもつのか，虚数解をもつのか判別することはどうするのですか．