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三次方程式を解く(その1)

南海 たとえば

\begin{displaymath}
x^3+3x+1=0
\end{displaymath}
を考えよう.もし
\begin{displaymath}
x^3+3x+1=x^3+y^3+z^3-3xyz
\end{displaymath}

となる $y$$z$ が求まれば,それで $x$
\begin{displaymath}
x=\,-y-z,\ -\omega y -\omega ^2z,\ -\omega^2 y -\omega z
\end{displaymath}

と求まる.

そのためには

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
-3yz=3\\
y^3+z^3=1
\end{array}\right.
\end{displaymath}

となる $y$$z$ が見つかればよい.

耕一  やってみます. $z=-\dfrac{1}{y}$ なので

\begin{displaymath}
y^3+ \left(-\dfrac{1}{y} \right)^3=1 \quad \Rightarrow \quad (y^3)^2-y^3-1=0
\end{displaymath}

これから
\begin{displaymath}
y^3=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}
\end{displaymath}

このとき
\begin{displaymath}
z^3= \left(-\dfrac{1}{y} \right)^3=- \dfrac{2}{1\pm \sqrt{5}}=\dfrac{1\mp \sqrt{5}}{2}
\end{displaymath}

南海  $y$ として $\sqrt[3]{\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$ とその $\omega$ 倍, $\omega ^2$ 倍がとれるが, $-y-z$, $-\omega y-\omega ^2 z$, $-\omega ^2y-\omega z$ の三つは同じになる. それで
\begin{displaymath}
y=\sqrt[3]{\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}} \quad ,\ z=\sqrt[3]{\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}}
\end{displaymath}

よって,
\begin{eqnarray*}
x&=&-\sqrt[3]{\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}}-\sqrt[3]{\dfrac{1- \sqr...
...{1+ \sqrt{5}}{2}}
-\omega \sqrt[3]{\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}}\ .
\end{eqnarray*}

耕一 なるほど,できました.解の公式もできそうです. ところで一般の三次方程式は
\begin{displaymath}
ax^3+bx^2+cx+d=0
\end{displaymath}

です. $a$ は 0 でないので割れるのですが $b$ は消せるのでしょうか.

南海  $x$のところに $x=t-\dfrac{b}{3a}$を代入すると$t^2$の係数が消えるはずだ.

耕一 (計算をする)

\begin{eqnarray*}
ax^3+bx^2+cx+d&=&a \left(t- \dfrac{b}{3a} \right)^3
+b\left(...
...(c-\dfrac{b^2}{3a} \right)t+\dfrac{2b^3}{27a^2}-\dfrac{bc}{3a}+d
\end{eqnarray*}

なりました.

南海  これは,関数 y=ax^3+bx^2+cx+d のグラフを,対称の中心である変曲点がy軸上に来るように平行移動したことになる.

耕一 これで一般的な三次方程式の解の公式ができます.

三次方程式

\begin{displaymath}
x^3+px+q=0
\end{displaymath}

の解の公式
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
-3yz=p\\
y^3+z^3=q
\end{array}\right.
\end{displaymath}

を解いて

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
y^3=\dfrac{q\pm \sqrt{q^2+\dfrac{4...
...\dfrac{q\mp \sqrt{q^2+\dfrac{4}{27}p^3}}{2}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

よって,

\begin{displaymath}
x=
\left\{
\begin{array}{l}
-\sqrt[3]{\dfrac{q+ \sqrt{q^2+\...
...{\dfrac{q- \sqrt{q^2+\dfrac{4}{27}p^3}}{2}}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

となる.

南海  大切なことは

\begin{displaymath}
\textbf{どんな三次方程式も,二次方程式を解くことと,3乗根をとることで,解ける.}
\end{displaymath}

ということだ.



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