上: 重心座標 前: 重心座標による図形の方程式

パスカルの定理の別証明

南海　 以上の準備の下でパスカルの定理を重心座標を用いて証明しよう． 3次行列の行列式は，2次の場合と同様に考えればよい．

命題 3        円錐曲線$C$の周上に6点，A，B，C，D，E，F がこの順に並んでいる． 直線ABとDEの交点をP， 直線BCとEFの交点をQ， 直線CDとFAの交点をR とする．このとき $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$は共線である． ■

証明 $\bigtriangleup \mathrm{ACE}$の重心座標で考える． 頂点の重心座標はそれぞれ

$$(1,\ 0,\ 0),\ (0,\ 1,\ 0),\ (0,\ 0,\ 1)$$

である． 円錐曲線は $\bigtriangleup \mathrm{ACE}$に外接しているので，その方程式は

$$lxy+myz+nzx=0$$ (9)

とおける．他の3点B，D，Fの重心座標を

$$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3),\ \mathrm{D}(d_1,\ d_2,\ d_3),\ \mathrm{F}(f_1,\ f_2,\ f_3)$$

とおく．これらの点が方程式(9)をみたすので，

$$\left( \begin{array}{ccc} b_1b_2&b_2b_3&b_3b_1\\ d_1d_2&... ... \left( \begin{array}{c} l\\ m\\ n \end{array}\right)=0$$

$l,\ m,\ n$はすべてが0ではないので，

$$\left\vert \begin{array}{ccc} b_1b_2&b_2b_3&b_3b_1\\ d_1... ...2d_3&d_3d_1\\ f_1f_2&f_2f_3&f_3f_1 \end{array}\right\vert=0$$ (10)

である．二点 $\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$， $\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$を通る直線の方程式と， 二点 $\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$， $\mathrm{D}(d_1,\ d_2,\ d_3)$を通る直線の方程式は，それぞれ命題1より，

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x&y&z\\ 1&0&0\\ b_1&b_2&... ... 0&0&1\\ d_1&d_2&d_3 \end{array}\right\vert=-(d_2x-d_1y)=0$$

この交点を求める．これより

$$x:y=d_1:d_2,\ \quad y:z=b_2:b_3$$

なのでABとDEの交点Pの重心座標は

$$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)=(b_2d_1,\ b_2d_2,\ b_3d_2)$$

同様にして， $\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$， $\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$を通る直線の方程式と， $\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$， $\mathrm{F}(f_1,\ f_2,\ f_3)$を通る直線の方程式から BCとEFの交点Qを求めると

$$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)=(b_1f_1,\ b_1f_2,\ b_3f_1)$$

また $\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$， $\mathrm{D}(d_1,\ d_2,\ d_3)$を通る直線の方程式と， $\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$， $\mathrm{F}(f_1,\ f_2,\ f_3)$を通る直線の方程式から CDとAFの交点Rを求めると

$$\mathrm{R}(x,\ y,\ z)=(d_1f_3,\ d_3f_2,\ d_3f_3)$$

となる．この3点の共線条件を調べる．

$$\begin{eqnarray*} && \left\vert \begin{array}{ccc} b_2d_1&b_2d_2&b_3d_2\\ b_... ..._3(d_1d_2f_1f_3-d_1d_3f_1f_2) -b_3b_1(d_1d_2f_2f_3-d_2d_3f_1f_2) \end{eqnarray*}$$

ところがこれは $-\left\vert \begin{array}{ccc} b_1b_2&b_2b_3&b_3b_1\\ d_1d_2&d_2d_3&d_3d_1\\ f_1f_2&f_2f_3&f_3f_1 \end{array}\right\vert$なので，等式(10)より値は0，つまり3点P，Q，R は共線である． □