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曲線族と「束」

南海　 実数 $k$ に対し， $k(x^2+y^2-1)+(x-3)^2+(y+2)^2-4 =0$ とすると，これはどのような図形を表しますか．

拓生　 式を整理すると，

$$(k+1)x^2-6x+(k+1)y^2+4y-k+9=0$$

となりますから， $k=-1$ のとき，直線になり， $k\ne -1$ のときは，両辺を $k+1$ で割って整理すると，

$$\begin{eqnarray*} \left( x- \dfrac{3}{k+1} \right)^2 +\left( y+ \dfrac{2}{k+1}... ...{13}{(k+1)^2}+\frac{k-9}{k+1} \\ &=&\dfrac{k^2-8k+4}{(k+1)^2} \end{eqnarray*}$$

$k^2-8k+4>0$ のとき円になり, $k^2-8k+4=0$のとき1点，さらに $k^2-8k+4<0$ のときは空集合，です．

南海　 $k$ が大きくなるとどうなりますか．

拓生　 $(x^2+y^2-1)+ \dfrac{1}{k}\{(x-3)^2+(y+2)^2-4 \} =0$ で $k \to \pm \infty$ ですから， $x^2+y^2-1=0$ に近づいていく．

南海　 そうです．まとめると

$k$	表す図形
$+\infty$	$x^2+y^2-1=0$
$\vdots$	円
$4+2\sqrt{3}$	点 $\left( \dfrac{15-6\sqrt{3}}{13},\ \dfrac{-10+4\sqrt{3}}{13} \right)$
$\vdots$	空集合
$4-2\sqrt{3}$	点 $\left( \dfrac{15+6\sqrt{3}}{13},\ \dfrac{-10-4\sqrt{3}}{13} \right)$
$\vdots$	円
$0$	$(x-3)^2+(y+2)^2-4=0$
$\vdots$	円
$-1$	直線 $3x-2y-5=0$
$\vdots$	円
$-\infty$	$x^2+y^2-1=0$

このように媒介変数 $k$ の一次式で定まる曲線族を「束」と呼びます．問題は， この「束」を特徴づける幾何的な性質はどのようなことか，と言うことです．

拓生　私の質問とどのような関係があるのでしょうか．