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パスカルの定理

南海　 一般化するためには，射影平面で考える方が自然なのだ．今までの議論を 射影平面の二次曲線として統合しよう． $(x_0,\ x_1,\ x_2)$を射影座標とする．このとき，

$$C\,:\,ax_1^2+bx_2^2+cx_0^2+2hx_1x_2+2lx_1x_0+2mx_2x_0=0$$

で定まる射影平面上の点の集合を考える．

もちろん，普通の平面の場合と同様，これが因数分解されて二つの直線などになる場合もある． どのようなときにだ円になったりするのかという二次曲線の分類は 『数学対話』「三角形に辺の中点で内接する楕円(シュタイナー楕円）」を 参考にしてもらいたい．

さて，この式が何かの二次曲線を表しているとする．

このとき，曲線上の点 $T(t_0,\ t_1,\ t_2)$に対して

を，曲線 $C$ の $T$ での接線，という．

拓生　 いちいち $(x_0,\ x_1,\ x_2)$で書くのは大変ですね．

南海　 そう．大変だ．何とか簡単にしたいというのは 大切なことだ．そこで， $X=(x_0,\ x_1,\ x_2)$とし， $C$ の式を$f(X)=0$と書こう． また接線の式を$L(X,\ T)=0$とおこう．

拓生　 ずいぶん簡単ですね．すると接線の対称性は

$$L(X,\ T)=L(T,\ X)$$

となるのですね．

秀樹　 先の問題の証明は次のようになるのですね．

1. 接点の座標をそれぞれ，$T_1,\ T_2$とする．接線の方程式は     
   
   $$L(T_1,\ X)=0,\ \,L(T_2,\ X)=0$$
   
   
   になる．これらが $\mathrm{P}$ を通るので，
   
   $$L(T_1,P)=0,\ \,L(T_2,P)=0$$
   
   
   である．ところがこれは，直線$L(X,P)=0$が$T_1,\ T_2$を通ることを示している． つまり$T_1T_2$の方程式は
   
   $$L(X,P)=0$$
   
   
   である．
2. 同様に直線$S_1S_2$の式は
   
   $$L(X,Q)=0$$
   
   
   である． $\mathrm{Q}$ が直線$T_1T_2$の上にあるので，$L(Q,P)=0$である． ところがこの式は $\mathrm{P}$ が
   
   $$L(Q,\ X)=0$$
   
   
   の上にあることを示している．

これが一般の二次曲線についての証明です．

南海　 点 $\mathrm{P}$ のことを極， 直線$L(X,P)=0$のことを極線といいます．

秀樹　 でもこれだけだと何かたいそうなだけですね．ここから導かれる性質 があれば教えて下さい．

南海　 パスカルの定理を証明してみよう．

拓生　 パスカルの定理って聞いたことがあります．

円上の6点を定め番号を打つ．各点から，一つ手前とひとつ後の番号の点を結ぶ．

$$1○2△3◇4○5△6◇1$$

のように同じ記号のところの直線の交点をとる． この3交点は同一直線上にある．

南海　 そう，これがパスカルの定理だ．点の番号の付け方は任意だ． この図は3交点が円の中に来る場合だ．

この証明は，パスカルが16歳のときに発見したもので大変美しい定理だ．そしてその後の 射影幾何学の始まりとなるものだ．ぜひ証明を考えてほしい．

これは一般の二次曲線で成立する．

その準備として，次の補題を確認する．

補題 1

$$f(X)=ax_1^2+bx_2^2+cx_0^2+2hx_1x_2+2lx_1x_0+2mx_2x_0$$

とし， $f(X)=0$ で二次曲線 $C$ が定まっているとする．

二次曲線 $f(X)=0$ 上の点 $\mathrm{P}$ での接線 $l$ を $L(\mathrm{P},\ X)=0$とおく．

1．

である．

2．式の形より

1. $L(\mathrm{P},\ X)=L(X,\mathrm{P})$
2. $L(\mathrm{P},\alpha X+\beta Y)=\alpha L(\mathrm{P},\ X)+\beta L(\mathrm{P},Y)$

が成り立つ．

3．さらに，どの三つも同一直線上に無い5点が与えられれば， この5点を通る二次曲線がただ一つ定まる．

(1)(2)は済んでいる．(3)は $f(X)=ax_1^2+bx_2^2+cx_0^2+2hx_1x_2+2lx_1x_0+2mx_2x_0$ と係数が5個あり， 同一直線上にない5点が $f(X)=0$ を満たせば係数の比が確定することからわかる． 厳密な論述は連立一次方程式と行列論が必要である．

定理 9 (パスカルの定理)
     二次曲線 $C:f(X)=0$ 上に異なる6点 $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_5,\ \mathrm{P}_6$ を取る．

1. 直線 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$ と直線 $\mathrm{P}_4\mathrm{P}_5$ の交点を$\mathrm{R}_1$， 直線 $\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3$ と直線 $\mathrm{P}_5\mathrm{P}_6$ の交点を$\mathrm{R}_2$， 直線 $\mathrm{P}_3\mathrm{P}_4$ と直線 $\mathrm{P}_6\mathrm{P}_1$ の交点を$\mathrm{R}_3$ とする. $\mathrm{R}_1，\mathrm{R}_2，\mathrm{R}_3$ は同一直線上にある．
2. $\mathrm{P}_i$ での接線 $L(\mathrm{P}_i,\ X)=0$ と $\mathrm{P}_j$ での接線 $L(\mathrm{P}_j,\ X)=0$ の交点を $\mathrm{Q}_{ij}$ とおく．このとき，直線 $\mathrm{Q}_{12}\mathrm{Q}_{45}$ ，直線 $\mathrm{Q}_{23}\mathrm{Q}_{56}$ ，直線 $\mathrm{Q}_{34}\mathrm{Q}_{61}$ は1点で交わる．

証明

1. 直線 $\mathrm{P}_i\mathrm{P}_j$ の式が
   
   $$L(\mathrm{Q}_{ij},\ X)=0$$
   
   
   である．そこで，二次曲線
   
   $$C':L(\mathrm{Q}_{12},\ X) L(\mathrm{Q}_{34},\ X)-\alpha L(\mathrm{Q}_{23},\ X)L(\mathrm{Q}_{14},\ X)=0$$
   
   
   を考える．これは $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \mathrm{P}_4,\$ を通る．ここで，
   
   $$\alpha=\dfrac{L(\mathrm{Q}_{12},\mathrm{P}_5)L(\mathrm{Q}_{... ...thrm{Q}_{23}, \mathrm{P}_5)L(\mathrm{Q}_{14},\mathrm{P}_5)}$$
   
   
   とおく． $\alpha$ をこのようにとると $C'$ は $\mathrm{P}_5$ も通る． 従って， $C'$ は $C$ と一致する．

   同様に二次曲線
   

   $$C'':L(\mathrm{Q}_{45},\ X) L(\mathrm{Q}_{16},\ X)-\alpha L(\mathrm{Q}_{56},\ X)L(\mathrm{Q}_{14},\ X)=0$$
   
   
   を考える． これは $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_5,\ \mathrm{P}_6,\$ を通る．ここで，
   
   $$\beta= \dfrac{L(\mathrm{Q}_{45},\mathrm{P}_2)L(\mathrm{Q}_... ...athrm{Q}_{56}, \mathrm{P}_2)L(\mathrm{Q}_{14},\mathrm{P}_2)}$$
   
   
   とおく． $\beta$ をこのようにとると $C''$ は $\mathrm{P}_2$ も通る． 従って， $C''$ は $C$ と一致する．

   二つの二次曲線の式は定数倍を除いて一致する．

   $$\begin{eqnarray*} &&L(\mathrm{Q}_{12},\ X)L(\mathrm{Q}_{34},\ X) -\alpha L(\ma... ...6},\ X) -\beta L(\mathrm{Q}_{56},\ X)L(\mathrm{Q}_{14},\ X)\} \end{eqnarray*}$$
   
   
   つまり
   $$\begin{eqnarray*} &&L(\mathrm{Q}_{12},\ X)L(\mathrm{Q}_{34},\ X) -kL(\mathrm{Q... ...lpha L(\mathrm{Q}_{23},\ X) -k \beta L(\mathrm{Q}_{56},\ X)\} \end{eqnarray*}$$
   
   
   この両辺の二次式を考える．

   左辺に $\mathrm{R}_1,\ \mathrm{R}_3$ を代入すると0になるので，右辺も満たす． そして $\mathrm{R}_1,\ \mathrm{R}_3$ は $L(\mathrm{Q}_{14},\ X)=0$ 上にはない．よって，
   

   $$\alpha L(\mathrm{Q}_{23},\ X)-k \beta L(\mathrm{Q}_{56},\ X) =0$$
   
   
   の上にある． $\mathrm{R}_2$ は明らかにこの式を満たす．

   ここで， $\mathrm{M}=\alpha \mathrm{Q}_{23}-k \beta \mathrm{Q}_{56}$と置くとこの式は

   $$\begin{eqnarray*} \alpha L(\mathrm{Q}_{23},\ X)-k \beta L(\mathrm{Q}_{56},\ X) ... ...m{Q}_{23}-k \beta \mathrm{Q}_{56},\ X)\\ &=&L(\mathrm{M},\ X) \end{eqnarray*}$$
   
   
   と表される． つまり $\mathrm{R}_1，\mathrm{R}_2，\mathrm{R}_3$ はすべて $L(\mathrm{M},\ X)= 0$ の上にある．
2. 極線 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$ の極が $\mathrm{Q}_{12}$ であり， $\mathrm{R}_1$ は極線 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$ 上の点である．よって，点 $\mathrm{Q}_{12}$ は直線 $L(\mathrm{R}_1,\ X)=0$ 上にある．同様に点 $\mathrm{Q}_{45}$ も直線 $L(\mathrm{R}_1,\ X)=0$ 上にある．

   つまり，直線 $L(\mathrm{R}_1,\ X)=0$ は直線 $\mathrm{Q}_{12}\mathrm{Q}_{45}$ と一致する．

   同様に，直線 $L(\mathrm{R}_2,\ X)=0$ は直線 $\mathrm{Q}_{23}\mathrm{Q}_{56}$ と一致し， 直線 $L(\mathrm{R}_3,\ X)=0$ は直線 $\mathrm{Q}_{34}\mathrm{Q}_{61}$ と一致する．

   (1)より
   

   $$L(\mathrm{M},\mathrm{R}_1)=0 ,\ L(\mathrm{M},\mathrm{R}_2)=0 ,\ L(\mathrm{M},\mathrm{R}_3)= 0$$
   
   
   である．ところがこれは，3直線
   
   $$L(\mathrm{R}_1,\ X)= 0,\ L(\mathrm{R}_2,\ X)= 0,\ L(\mathrm{R}_3,\ X)= 0$$
   
   
   が一点 $\mathrm{M}$ で交わることを示している．□

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