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ある図形問題の解法

伍郎  最近,次の問題をしました. 私の解答をあわせて,書きます.

演習 1   $\bigtriangleup \mathrm{OAB}$の辺 $\mathrm{OA},\mathrm{OB}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{C},\ \mathrm{D}$をとり$\mathrm{AD}$$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする. また,2点 $\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$を四角形$\mathrm{OCQD}$, 四角形$\mathrm{OARB}$がそれぞれ平行四辺形となるようにとる. このとき, 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ.

解答

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}},\...
...row{\mathrm{OD}}=l\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ \
(0<k,\ l<1)
\end{displaymath}
とおく.さらに

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha\overrightarrow{\mathrm{OA}}+
\beta\overrightarrow{\mathrm{OB}}
\end{displaymath}
とする.このとき

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha\overrightarrow{\mathrm{OA}}+
\beta\cdot\dfrac{1}{l}\overrightarrow{\mathrm{OD}}
\end{displaymath}
$\mathrm{P}$$\mathrm{AD}$上にあるので

\begin{displaymath}
\alpha+\dfrac{\beta}{l}=1
\end{displaymath}

同様に

\begin{displaymath}
\dfrac{\alpha}{k}+\beta=1
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
\alpha=\dfrac{k-kl}{1-kl},\
\beta=\dfrac{l-kl}{1-kl}
\end{displaymath}

また

\begin{eqnarray*}
&&\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+
...
...{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+
\overrightarrow{\mathrm{OD}}
\end{eqnarray*}

である.ゆえに

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{\mathrm{PR}}&=&\overrightarrow{\mathrm{OR}}
-\...
...)\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1-kl)\overrightarrow{\mathrm{PR}}
\end{eqnarray*}

よって $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$ $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ が平行となり, 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$は一直線上にある. □

これはベクトルの威力がわかる証明です.

質問は2点あって,

  1. 図形的な証明はどのようにすればよいのか.
  2. どのような一般化があるのか.
ということです.

南海  うん,このようなことを考えるのは大変いいことだ.

まず図形的な証明だが.メネラウスの定理を使えばできる.

念のためにメネラウスの定理を示しておこう.

定理 1 (メネラウスの定理)
$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の 頂点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$に対し, 点 $\mathrm{A},\ \mathrm{C}$の対辺上に2点 $\mathrm{P},\ \mathrm{R}$と 点$\mathrm{B}$対辺の延長線上に1点$\mathrm{Q}$をとるか, またはそれぞれの対辺の延長線上に 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$をとる. いずれの場合も,
  1. 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$が一直線上にあれば $\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot
\dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot
\dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1$となる.
  2. $\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot
\dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot
\dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1$なら 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ は一直線上にある.
        

(1)をメネラウスの定理といい, (2)をメネラウスの定理の逆という. 要するに条件

\begin{displaymath}
\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot
\dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot
\dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1
\end{displaymath}

と3点が1直線上にあることが同値であるということである.

証明
(1) 点$\mathrm{C}$から $\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2$に平行な 直線$\mathrm{CS}$を引く.

\begin{displaymath}
\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}
=\dfrac{\mathrm{RS}}{\mathr...
...ac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}
=\dfrac{\mathrm{RA}}{\mathrm{SR}}
\end{displaymath}

となる.     

\begin{displaymath}
∴\quad
\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot
\dfrac{\mathr...
...thrm{RA}}{\mathrm{SR}}\cdot
\dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1
\end{displaymath}

(2) 直線 $\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2$と直線$\mathrm{BC}$の交点を $\mathrm{P}'$とする. このとき

\begin{displaymath}
\dfrac{\mathrm{P'C}}{\mathrm{BP'}}\cdot
\dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot
\dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1
\end{displaymath}

となる.一方, $\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot
\dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot
\dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1$なので

\begin{displaymath}
\dfrac{\mathrm{P'C}}{\mathrm{BP'}}
=\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}
\end{displaymath}

となり, $\mathrm{P}'=\mathrm{P}$である. つまり, 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ は一直線上にあることが示された. □

南海  これを用いて先の演習問題の図形的な証明を考えよう.

$\mathrm{CQ}$$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{S}$とおこう. これを先の図に書き込む.

方針は, $\bigtriangleup \mathrm{CBS}$と, 辺または辺の延長上の3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$に 関して,メネラウスの定理の逆を用いて, この3点が一直線上にあることをいいたい.

伍郎  そのためには,

\begin{displaymath}
\dfrac{\mathrm{PB}}{\mathrm{CP}}\cdot
\dfrac{\mathrm{RS}}{\m...
...}\cdot
\dfrac{\mathrm{QC}}{\mathrm{SQ}}=1
\quad \cdots\maru{1}
\end{displaymath}

がいえればよい.

南海  $\bigtriangleup \mathrm{OCB}$と直線$\mathrm{AD}$ に関してメネラウスの定理を用いると何が得られるか.

伍郎 

\begin{displaymath}
\dfrac{\mathrm{PB}}{\mathrm{CP}}\cdot
\dfrac{\mathrm{DO}}{\m...
...}\cdot
\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{OA}}=1
\quad \cdots\maru{2}
\end{displaymath}

です. あっ, $\mathrm{OB}$$\mathrm{CS}$は平行, $\mathrm{OA}$ $\mathrm{C}_1\mathrm{A}_2$も平行だから

\begin{displaymath}
\dfrac{\mathrm{DO}}{\mathrm{BD}}
=\dfrac{\mathrm{QC}}{\mathr...
...c{\mathrm{AC}}{\mathrm{OA}}
=\dfrac{\mathrm{RS}}{\mathrm{BR}}
\end{displaymath}

これを$\maru{2}$に代入すれば$\maru{1}$そのものだ.□

わかりました.意外に簡単なのですね.


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