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二次曲線としての円錐曲線

楕円や双曲線，放物線が二次曲線といわれるのはなぜか．

耕一　 曲線を定義する方程式が

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,\ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,\ x^2=4py$$

のように，二次式になるからです．

南海　 しかし二次式ということになると他にいくらもある．

耕一　 『数学対話』−「パスカルの定理」のなかにあるように，$x$と$y$の二次式の一般形は

$$ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c=0$$ (3)

です．

これをみたす点$(x,\ y)$の全体が，方程式(3)で定まる図形ということになります．

『数学対話』−「シュタイナー楕円」のなかに，$h^2-ab\ne 0$のときには， この方程式で定まる図形を平行移動したり，一次変換で移動すると， 標準形で表された二次曲線の方程式が得られることが書かれています．

南海　 よく勉強している． その内容を整理して再掲しよう．

最も一般的な考え方は 『数学対話』−「線型代数の考え方」−「内積と直交変換」−「内積の対角型行列表示」にある． この対話の最後の演習問題にもあるのだが，ここでは， 数学$C$の範囲内で，この二次曲線を移動して標準形で表されるようにする手順を考えよう．

方程式(3)で定まる図形を回転と平行移動して標準形にするのである．

平行移動は先にしても後からしてもいいのだが， ここでは後からすることにし，まず$xy$という項を消すために回転しよう．

$A$を回転行列 $\matrix{\cos\theta}{-\sin\theta}{\sin\theta}{\cos\theta}$とし， 二次曲線

$$ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c=0$$

上の点$(x,\ y)$が$A$で定まる一次変換 $f_A$ で点$(X,\ Y)$に移るとする．

$$\vecarray{X}{Y}=\matrix{\cos\theta}{-\sin\theta}{\sin\theta}{\cos\theta}\vecarray{x}{y}$$

である．これを逆に解くと

$$\vecarray{x}{y}=\matrix{\cos\theta}{\sin\theta}{-\sin\theta}{\cos\theta}\vecarray{X}{Y}$$

である．xとyをもとの方程式に代入し，得られるXとYの方程式において$XY$という項の係数を0にできればよい．

耕一　 $ax^2+2hxy+by^2$の部分で考えればよいです．

$$\begin{eqnarray*} &&ax^2+2hxy+by^2\\ &=&(x,\ y)\matrix{a}{h}{h}{b}\vecarray{x}{... ... \vecarray{X}{Y}\\ &=&(X,\ Y)\matrix{A}{H}{H}{B}\vecarray{X}{Y} \end{eqnarray*}$$

とします．

\begin{eqnarray*} A&=&\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2}\cos2\theta-h\sin2\theta\\ B&=&\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2}\cos2\theta+h\sin2\theta\\ H&=&-\dfrac{b-a}{2}\sin2\theta+h\cos2\theta\\ \end{eqnarray*}

です．

南海　 $A+B=a+b, \, AB-H^2=ab-h^2$が成り立つはずだ．

耕一

\begin{eqnarray*} A+B&=&a+b\\ AB-H^2&=&\left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2-\left(\dfrac{a-b}{2}\cos2\theta-h\sin2\theta \right)^2\\ &&\quad \quad -\left(-\dfrac{b-a}{2}\sin2\theta+h\cos2\theta\right)^2\\ &=&\dfrac{(a+b)^2}{4}-\dfrac{(a-b)^2}{4}-h^2=ab-h^2 \end{eqnarray*}

です．$AB-H^2=ab-h^2$の方は

$$\begin{eqnarray*} AB-H^2&=&\Delta\matrix{A}{H}{H}{B}\\ &=&\Delta\left(\matrix{\... ...heta}{\cos\theta} \right)\\ &=&\Delta\matrix{a}{h}{h}{b}=ab-h^2 \end{eqnarray*}$$

からもわかります．

そこで，$a=b$ ならば $\theta=\dfrac{\pi}{4}$にとり， $a \ne b$ ならば $\tan2\theta = \dfrac{2h}{b-a}$ となる$\theta$ をとれば $H=0$ になります．

南海　 回転，一般的には一次変換で$lx+my+c$の部分は$X$と$Y$の一次式になることはまちがいない． 回転角を適当にとることで(3)が

$$AX^2+BY^2+2LX+2MY+C=0$$ (4)

と変形されることがわかった．

耕一　 一次の項は平行移動で消せる． また，$H=0$にしたときは$AB=ab-h^2$なので，$ab-h^2>0$か$ab-h^2<0$に応じて楕円か双曲線になります．

南海　 とはかぎらない．(4)が因数分解されるときがある．

耕一　 そうか． 因数分解できるということは，図形が2直線になるということですね．

南海　 そうだ．回転して2直線になるということは，もともと2直線だから， このときは(3)がすでに因数分解される．

耕一　 では$ab-h^2=0$のときは，どのようになるのですか．

南海　 $a=b$ ならば $\theta=\dfrac{\pi}{4}$にとり， $a \ne b$ ならば $\tan2\theta = \dfrac{2h}{b-a}$ となる$\theta$ をとれば， $H=0$とできることは同様だ．

さらに$ab-h^2=0$の場合は$AB=H^2$となる．

したがって$H=0$にしたとき$AB=0$となるのだ．

耕一　 $A=0$か$B=0$ならそれぞれ$X$軸または$Y$軸に平行な放物線です．

$A=B=0$なら，必然的に$a=b=0$で，このときは$h=0$も成り立ち(3)が二次式でなくなります．

南海　 さらに，

$$X^2+Y^2=0$$

が1点$(0,\ 0)$以外に条件をみたす点がない場合もある．

この場合も結局は(3)が

$$(x-1)^2+(y-2)^2=0$$

のようになって1点しか表さない．

以上から(3)で定まる図形は

楕円，双曲線，放物線
円
2直線，1直線
1点，空集合

のいずれかになる．

ところで，方程式(3)は3次対称行列を用いると

$$(x,\ y,1) \left( \begin{array}{ccc} a&h&l\\ h&b&m\\ l&... ... \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ 1 \end{array}\right)=0$$

と表される．この対称行列の対角化の問題と考えることができる． 次のように2つの行列の行列式を$D_0,\ D$とする．

$$D_0= \left\vert \begin{array}{cc} a&h\\ h&b \end{array}... ...array}{ccc} a&h&l\\ h&b&m\\ l&m&c \end{array}\right\vert$$

とおく．

このとき

1. $D_0\ne0,\ D\ne 0$なら，空集合かまたは楕円か双曲線．
2. $D_0=0,\ D\ne 0$なら，放物線．
3. $D=0,\ D_0>0$なら，1点．
4. $D=0,\ D_0<0$なら，平行でない2直線．
5. $D=0,\ D_0=0$なら，空集合か1直線か平行2直線．

となる． これについては 『数学対話』−「線型代数の考え方」−「内積と直交変換」−「内積の対角型行列表示」定理7辺りを参考に考えてほしい．

演習 2  
次の曲線を回転と平行移動で標準形にせよ．

1. $7x^2+2\sqrt{3}xy+5y^2=16$
2. $13x^2-10xy+13y^2+6x+45y-27=0$
3. $x^2+10\sqrt{3}xy+11y^2+16=0$

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