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包絡線としての円錐曲線

南海　 楕円と双曲線を円と直線から構成するもう一つの方法がある． それが，包絡線による方法だ．

$xy$平面上の円$C$を

$$x^2+y^2=a^2$$

で定める． また，$x$軸上の点 $\mathrm{F}(c,\ 0)$がある． 図形は$y$軸で対称なので$c$は正とする．さらに$c\ne a$とする．

点$\mathrm{F}$から円$C$に直線$\mathrm{FP}$を引き， その交点$\mathrm{P}$をとおり直線$\mathrm{FP}$と直交する直線を $l_{\mathrm{P}}$とする． $\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，直線 $l_{\mathrm{P}}$の通過する領域を求めてみよう．

耕一　 点$\mathrm{P}$を $\mathrm{P}(a\cos\theta,\ a\sin\theta)$とします．

$$\overrightarrow{\mathrm{FP}}=(a\cos\theta-c,\ a\sin\theta)$$

です． 直線 $l_{\mathrm{P}}$は点$\mathrm{P}$を通り， 法線ベクトルが $\overrightarrow{\mathrm{FP}}$の直線ですから，その方程式は

$$(a\cos\theta-c)(x-a\cos\theta)+a\sin\theta(y-a\sin\theta)=0$$

つまり直線 $l_{\mathrm{P}}$の方程式は

$$(a\cos\theta-c)x+(a\sin\theta)y=a^2-ac\cos\theta$$ (6)

となります．

角$\theta$がすべての値をとるとき， 点$(x,\ y)$が直線 $l_{\mathrm{P}}$の通過する領域に存在することと， 方程式(6)をみたす$\theta$が存在することが同値です．

方程式(6)を$\theta$で整理すると

$$a(x+c)\cos\theta+ay\sin\theta=a^2+cx$$

これを合成すると

$$a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\sin(\theta+\alpha)=a^2+cx$$

となります．

これをみたす$\theta$が存在する必要十分条件は

$$\left\vert\dfrac{a^2+cx}{a\sqrt{(x+c)^2+y^2}} \right\vert\le 1$$

つまり

$$(a^2+cx)^2\le a^2\{(x+c)^2+y^2\}$$

これを整理して

$$a^2(a^2-c^2)\le (a^2-c^2)x^2+a^2y^2$$

です．

$a^2-c^2>0$つまり点$\mathrm{F}$が円$C$の内部にあれば

$$1\le\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-c^2}$$

より楕円の外部．

$a^2-c^2<0$つまり点$\mathrm{F}$が円$C$の外部にあれば

より双曲線の原点のある側です．その境界を図示します．

南海　 この通過領域の境界がいわゆる直線 $l_{\mathrm{P}}$の包絡線だ．

包絡線は，方程式(6)を$\theta$で微分した式と式(6)を連立させて求めることもできる． それは演習問題としよう．

演習 6   直線 $l_{\mathrm{P}}$の包絡線を， 『数学対話』ー「包絡線」にある一般的方法で求めよ．

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