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接線の極方程式表示と応用

南海　 定義(4)を極座標で表すとどのようになるか． その場合焦点を極にとり，準線と直交する方向に極線をとろう．

耕一　 条件をみたす点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{PH}$を準線への垂線とします． さらに，$r=\mathrm{FP}$とし準線と焦点の距離を$a$とします． また離心率を$e$とします．定義から

$$\dfrac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}=e$$

これから

$$\dfrac{r}{rcos\theta+a}=e$$

これを解いて

$$r=\dfrac{ea}{1-e\cos\theta}$$

となります．

南海　 そういうことなのだ． このようにして，$xy$座標で標準形で表されるものを， 極方程式に表すと次のようになる． 先にいちど掲げた表に極方程式を追加しよう．

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \h... ...x=-a&r=\dfrac{l}{1-\cos \theta},\ l=2a\\ \hline \end{array}$$

演習 3  
標準形の二次曲線を焦点を極にとって極座標表示すると，上の表のようになることを確認せよ．

南海　 極方程式で表された曲線の接線を考えることが必要だ．

耕一　$xy$ 座標で $y=f(x)$ で表された曲線上の点 $(t,\ f(t))$ での接線は， $f'(t)$が存在するとき$xy$座標では

$$y=f'(t)(x-t)+f(t)$$

で表されます.

すると, 極座標$(r,\ \theta)$ で極方程式 $r=f(\theta)$ によって表される曲線上の点 $(f(\alpha),\ \alpha)$ での接線はどのようになるのか，という問題ですね．

南海　 それを考えよう．

極形式で表された曲線 $r=f(\theta)$ 上の2点 $(f(\alpha),\ \alpha)\ (f(\beta),\ \beta)$ を 通る直線の式を極座標で表わすとどうなるか．

耕一　 極座標を$xy$座標に直しつつ考えないとうまくできません．

求める接線上の点を $(r,\ \theta)$ とします.

2点 $(f(\alpha),\ \alpha)\ (f(\beta),\ \beta)$ を結ぶ直線の傾きは

$$\dfrac{f(\alpha)\sin\alpha-f(\beta)\sin\beta}{f(\alpha)\cos\alpha-f(\beta)\cos\beta}$$

ここで, $\beta\to\alpha$ の極限をとります． これは，分子分母がそれぞれ関数 $f(\theta)\sin\theta，f(\theta)\cos\theta$の $\theta=\alpha$での微分係数になるので

$$\dfrac{f'(\alpha)\sin\alpha+f(\alpha)\cos\alpha}{f'(\alpha)\cos\alpha-f(\alpha)\sin\alpha}$$

です．したがって接線上の点$(r,\ \theta)$がみたすべき関係式は

$$\dfrac{r\sin\theta-f(\alpha)\sin\alpha}{r\cos\theta-f(\alpha... ...f(\alpha)\cos\alpha}{f'(\alpha)\cos\alpha-f(\alpha)\sin\alpha}$$

です． これより,

を得ます．

南海　それが求める接線の式である.

これをもとに二次曲線の接線に関する基本定理を導こう.

定理 2
楕円,放物線,双曲線 $C$ の焦点,準線,離心率をそれぞれ $\mathrm{F}$ , $d$ , $e$ とし $C$ 上の任意の点 $\mathrm{P}$ における接線 $l$ と $d$ との交点を $\mathrm{A}$ , $\mathrm{P}$ から $d$ に下した垂線の足を $\mathrm{H}$ とする.

このとき

$$\dfrac{\cos \angle \mathrm{APF}}{\cos \angle \mathrm{APH}}=e$$

が成り立つ.

証明

Fを極とする極座標では楕円,放物線,双曲線は

$$r=\dfrac{l}{1\pm e\cos\theta}$$

と表される.

まずこの上の点 $(f(\alpha),\ \alpha)$ での接線を求める.

$$\dfrac{d}{d\theta}r=\dfrac{\pm le\sin\theta}{(1\pm e\cos\theta)^2}$$

よって

$$r\left\{\dfrac{\pm le\sin\alpha}{(1 \pm e\cos\alpha)^2}\sin(... ...\cos(\alpha-\theta)\right\} =\dfrac{l^2}{(1\pm e\cos\alpha)^2}$$

$$∴\quad r\{\pm e\sin\alpha\sin(\alpha-\theta)+(1\pm e\cos\alpha)\cos(\alpha-\theta)\}=l$$

つまり

$$r\left\{\pm e\cos\theta+\cos(\alpha-\theta)\right\}=l$$

図のように点 $\mathrm{P}(f(\alpha),\ \alpha)$ での接線とFPのなす角を $\gamma,\ \mathrm{PH}$ と のなす角を $\delta$ とする．

$$\dfrac{\cos\gamma}{\cos\delta}=e$$

を示す．

Pでの接線と $x$ 軸との交点をBとする.

まず $\mathrm{FP}$ を求める. 接線の式に $\theta=\alpha$ を代入して

次に $\mathrm{FB}$ を求める.

1. $+e(0 <e<1)$ ，つまり楕円のとき．

   $\theta =0$ を代入して
   

   $$\mathrm{FB}=\dfrac{l}{e+\cos\alpha}$$
   
   
   このとき $\alpha+\gamma+\delta=\pi$ である.よって,
   
   $$\cos \alpha=-\cos (\gamma+\delta)$$
   
   

2. $-e(1 \le e)$ ，つまり放物線, 双曲線のとき．

   $\theta =\pi$ を代入して
   

   $$\mathrm{FB}=\dfrac{l}{e-\cos\alpha}$$
   
   
   このとき $\alpha=\gamma+\delta$ である.よって,
   
   $$\cos \alpha=\cos (\gamma+\delta)$$
   
   

よっていずれの場合も

$$\mathrm{FP} =\dfrac{l}{1 -e \cos (\gamma+\delta)},\ \mathrm{FB}=\dfrac{l}{e -\cos (\gamma+\delta)}$$

正弦定理より

$$\dfrac{\mathrm{FB}}{\sin\gamma}=\dfrac{\mathrm{FP}}{\sin\delta}$$

これから

$$\sin\gamma\left\{e-\cos(\gamma+\delta)\right\} =\sin\delta\left\{1-e\cos(\gamma+\delta)\right\}$$

$$e\left\{\sin\gamma+\sin\delta\cos(\gamma+\delta)\right\} =\sin\delta+\sin\gamma\cos(\gamma+\delta)$$

$$e\cos\delta\sin(\delta+\gamma)=\cos\gamma\sin(\delta+\gamma)$$

$$∴\quad e=\dfrac{\cos\gamma}{\cos\delta}$$

□

南海　 放物線の場合は，$e=1$なので

$$\cos\gamma=\cos\delta$$

となる．

演習 4  
定理(2)を，円錐曲線の定義方程式を$xy$座標平面の標準形で表したものを用いて示せ．

定理(1)や定理(2)は局所的な性質だ． だから逆に次のような逆問題ができる．

演習 5  
2定点 $\mathrm{F},\ \mathrm{F}'$が与えられたとき，次の条件を満たす曲線$C$を求めよ．

曲線$C$上の点$\mathrm{P}$での接線と直線$\mathrm{FP}$がなす角と， 同じ接線が直線$\mathrm{F'P}$がなす角とが，つねに等しい．

これに関連した問題が93年阪大前期の問題だ．

このような逆問題については，まだあまり考えていない．

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