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光線の包絡線

南海　 そこで，コップを原点を中心とする半径1の円としよう．
図のように，$x$軸に平行な光線が，点 $(\cos\theta,\ \sin\theta)$で 反射しているとしよう． 反射光の通過する直線の方程式はどのようになるか．

耕一　 傾きは$\tan 2\theta$ですから

$$y=\tan 2\theta(x-\cos \theta)+\sin \theta$$

です．分母を払って整理すると

$$(\sin 2\theta)x-(\cos 2\theta)y=\sin \theta\quad \cdots\maru{1}$$

となります．これは $\cos 2\theta=0$のときも成立します．

ここからは包絡線の一般論ですね． 少し難しいです．

南海　 まず，何らかの曲線が存在していることは事実である． われわれは，その曲線とこの光線が接していると考えているので， 接点を $(x(\theta),\ y(\theta))$とおこう． $(x(\theta),\ y(\theta))$の軌跡が，この曲線そのものだ．

耕一　 曲線がどのような媒介変数表示になるかはわからないので， とりあえずそれを $(x(\theta),\ y(\theta))$とおいたのですね． するとこの点は光線上の点でもあるから方程式$\maru{1}$を満たし．

$$(\sin 2\theta)x(\theta)-(\cos 2\theta)y(\theta)=\sin \theta \quad \cdots\maru{2}$$

となる． 『数学対話』−「座標幾何のひろがり」−「包絡線」によれば これを$\theta$で微分するのですね． すると

$$2(\cos 2\theta)x(\theta)+(\sin 2\theta)x'(\theta)+ 2(\sin 2\theta)y(\theta)-(\cos 2\theta)y'(\theta)=\cos \theta$$

となります． ところがベクトル $(x'(\theta),\ y'(\theta))$は曲線の接線方向ですから， 接線の法線ベクトル

$$(\sin 2\theta,\ -\cos 2\theta)$$

と直交しています，つまり

$$(\sin 2\theta)x'(\theta)-(\cos 2\theta)y'(\theta)=0$$

です．これを微分した式に代入して両辺を2で割ると

$$(\cos 2\theta)x(\theta)+(\sin 2\theta)y(\theta)=\dfrac{1}{2}\cos \theta\quad \cdots\maru{3}$$

となります． $\maru{2},\ \maru{3}$を連立して$x$と$y$について解くと

$$\begin{eqnarray*} x(\theta)&=&\dfrac{1}{2}\cos2\theta\cos\theta+\sin2\theta\sin\... ...theta)&=&\dfrac{1}{2}\sin2\theta\cos\theta-\cos2\theta\sin\theta \end{eqnarray*}$$

です．

南海　 もう一息，これを積和の公式で分けるとどうなるか．

耕一　

$$\begin{eqnarray*} x(\theta)&=&\dfrac{1}{2}\cos2\theta\cos\theta+\sin2\theta\sin\... ...\sin\theta)\\ &=&\dfrac{3}{4}\sin\theta-\dfrac{1}{4}\sin3\theta \end{eqnarray*}$$

これはどこかで見たことがあります．