ケプラーの第3法則

南海　軌道が楕円であることが確定すれば，ケプラーの第3法則は数学の問題だ．

この楕円の長軸は $\theta=0,\ \pi$ でのの和だから

$\begin{displaymath} 2a=\dfrac{l}{1+e}+\dfrac{l}{1-e}=\dfrac{2l}{1-e^2} \end{displaymath}$

また短軸は

$\begin{displaymath} 2b=2\sqrt{a^2-e^2a^2}=\dfrac{2l}{\sqrt{1-e^2}} \end{displaymath}$

ゆえに

$\begin{displaymath} a=\dfrac{l}{1-e^2},\ b=\dfrac{l}{\sqrt{1-e^2}} \end{displaymath}$

つまり

$\begin{displaymath} al=b^2 \end{displaymath}$

面積速度は

$\begin{displaymath} \dfrac{1}{2}r^2\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{h}{2} \end{displaymath}$

なので，周期を

とすると楕円の面積は $\dfrac{Th}{2}$ である．

一方面積は $\pi ab$ でもあるので

$\begin{displaymath} \dfrac{Th}{2}=\pi ab \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} ∴\quad \dfrac{T^2h^2}{4}=\pi^2 a^2b^2=\pi^2 la^3 \end{displaymath}$

つまり「惑星の公転周期の2乗は軌道の半長径の3乗に比例する」というケプラーの第3法則が示された．

Aozora Gakuen