次： 相加相乗平均の不等式の証明 上： 凸多角形と凸関数 前： 凸関数

応用問題

演習 1       ［相加相乗平均の不等式］解答1

適切な関数を選び，正の数 $a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_m$ と $m$ 個の正の整数 $n_1,\ n_2,\ \cdots ,\ n_m$ に対する次の重み付き相加相乗平均の不等式を証明せよ．

演習 2       ［Gaussの定理］解答2

$\alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n$ は相異なる複素数で，複素数平面上の $n$ 角形

$$K\ :\ \mathrm{A_1(\alpha_1)A_2(\alpha_2) \cdots A_n(\alpha_n)}$$

は凸多角形であるとする．

$$f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$$

とおく．複素数 $z$ は

$$f'(z)=0$$

を満たしているとする．
このとき，複素数平面上の点 $\mathrm{P}(z)$ は $n$ 角形 $K$ の内部の点であることを示せ．