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ビエタの公式

南海   三角関数の倍角公式からできるのがビエタの公式だ.

次の等式が成立する.


したがって


ここで $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$を代入してみてほしい.

拓生 

そうか.これから

\begin{displaymath}
\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}{\dfrac{\...
...c{\pi}{2^2}\cos\dfrac{\pi}{2^3}\cdots\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}
\end{displaymath}

ここで$n\to \infty$をとると $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$なので,

\begin{displaymath}
\dfrac{\pi}{2}
=\dfrac{1}{\cos\dfrac{\pi}{2^2}\cos\dfrac{\pi}{2^3}\cdots\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\cdots}
\end{displaymath}

南海   そこで倍角公式, $\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos \theta}{2}$を用いて $\cos\dfrac{\pi}{2^2}$ から順に計算する.

拓生  やってみます.

\begin{eqnarray*}
\cos\dfrac{\pi}{2^2}&=&\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\
\cos\dfrac{\pi}{...
...dfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)}\right)}\\
\cdots
\end{eqnarray*}


\begin{displaymath}
∴\quad \dfrac{\pi}{2}
=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{2}}\sqrt{\...
...\dfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)}\right)}\cdots}
\end{displaymath}

南海   少し計算をやってみよう.

拓生  はい.

\begin{eqnarray*}
&&\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}=2.828427124746190097603377448...
...dfrac{1}{2}}\right)}\right)}}
=3.1214451522580522855725578956311
\end{eqnarray*}

2項目までの計算で,$3.05$は越えます.これは立派に東大の問題の別解になっています.



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