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ビエタの公式

南海　　 三角関数の倍角公式からできるのがビエタの公式だ．

次の等式が成立する．

したがって

ここで $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$を代入してみてほしい．

拓生　

そうか．これから

$$\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}{\dfrac{\... ...c{\pi}{2^2}\cos\dfrac{\pi}{2^3}\cdots\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}$$

ここで$n\to \infty$をとると $$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$なので，

$$\dfrac{\pi}{2} =\dfrac{1}{\cos\dfrac{\pi}{2^2}\cos\dfrac{\pi}{2^3}\cdots\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\cdots}$$

南海　　 そこで倍角公式， $\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos \theta}{2}$を用いて $\cos\dfrac{\pi}{2^2}$ から順に計算する．

拓生　 やってみます．

$$\begin{eqnarray*} \cos\dfrac{\pi}{2^2}&=&\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\ \cos\dfrac{\pi}{... ...dfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)}\right)}\\ \cdots \end{eqnarray*}$$

$$∴\quad \dfrac{\pi}{2} =\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{2}}\sqrt{\... ...\dfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)}\right)}\cdots}$$

南海　　 少し計算をやってみよう．

拓生　 はい．

$$\begin{eqnarray*} &&\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}=2.828427124746190097603377448... ...dfrac{1}{2}}\right)}\right)}} =3.1214451522580522855725578956311 \end{eqnarray*}$$

2項目までの計算で，$3.05$は越えます．これは立派に東大の問題の別解になっています．