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ゼータ関数の値

南海　　 方程式$\maru{1}$の根を $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \cdots$のように書くと

$$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\cdots=(\alpha+\beta+\gamma+\cdots)^2-2(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma+\cdots)$$

である．これを利用して，方程式$\maru{1}$の$m$個の根の平方の和を求めよう．

$$\begin{eqnarray*} &&\alpha+\beta+\gamma+\cdots=\dfrac{{}_{2m+1}\mathrm{C}_3}{{}_... ...hrm{C}_5}{{}_{2m+1}\mathrm{C}_1} =\dfrac{m(m-1)(2m-1)(2m-3)}{30} \end{eqnarray*}$$

である．したがって

つまり

ここで $1+\cot^2 x>\dfrac{1}{x^2}>\cot^2 x \ \left(0<x<\dfrac{\pi}{2} \right)$より

$$1+2\cot^2x+\cot^4x>\dfrac{1}{x^4}>\cot^4 x \ \left(0<x<\dfrac{\pi}{2} \right)$$

である．すでに行った計算と同様に

よって

これから

$$\dfrac{\pi^4}{90}=1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots$$

を得る．

さて，数$s$に対して

$$\zeta(s)=1+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{4^s}+\cdots$$

を「ゼータ関数」という．実数$s$で$s$が$s>1$にあればこの級数は収束する． 逆に$s=1$のときに発散することは，

よりわかる．

ゼータ関数は今日もまだ未解決の問題を含む関数で，整数論できわめて重要であるばかりでなく， その他の分野でも頻繁に登場する．

オイラーの公式が重要なのはゼータ関数の特別な値になっているからである．

$$\begin{eqnarray*} \zeta(2)&=&1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdo... ...c{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots=\dfrac{\pi^4}{90} \end{eqnarray*}$$

同様に次のような公式も成り立つ．

$$\begin{eqnarray*} \zeta(6)&=&1+\dfrac{1}{2^6}+\dfrac{1}{3^6}+\dfrac{1}{4^6}+\cdo... ...{3^{12}}+\dfrac{1}{4^{12}}+\cdots=\dfrac{691\pi^{12}}{638512875} \end{eqnarray*}$$

※　後に表した『数学対話』のなかの「ζ(2l)を関・ベルヌーイ数で表す」に一般形がある．