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オイラーの公式

史織　　 複素数の偏角について次の等式を『数学対話』の「複素数の構成」で証明しました．教科書にものっています．

$z_1,\ z_2$ を2つの複素数とし， $\arg$ で偏角を表すと

$$\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2),\ \quad \arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)$$

それで思ったのですが，これってまったく対数の式

$$\log (xy)=\log x+\log y,\ \quad \log \left(\dfrac{x}{y}\right)=\log x-\log y$$

ではありませんか．「偏角って対数？」と思いました．

南海　　なるほど．

史織　　それで，この式のもとは何かと考えるとそれはド・モアブルの定理です． $z_1=r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1),\ z_2=r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)$ とすると

$$r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)\cdot r_2(\cos \theta_2+i\s... ... =r_1r_2\{\cos (\theta_1+\theta_2)+i\sin (\theta_1+\theta_2)\}$$

となります．

偏角を考えるのに大きさはいらないので $f(\theta)=\cos \theta+i\sin \theta$ とすると

$$f(\theta_1)\cdot f(\theta_2)=f(\theta_1+\theta_2)$$

です．これは指数法則 $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ と同じです． すると $f(\theta)=\cos \theta+i\sin \theta$って「指数関数？」

南海　　よく考えた．いわば高校数学の秘密に自分の力で迫っている． 結論から言えば $\cos \theta+i\sin \theta$はまさに指数関数だ．それは

$$e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$$

となる．これを オイラーの公式( Euler's formula ) という．

史織　　 べきに虚数が入るのですか．何か神秘的な感じですね．

南海　　 そうだ．三角関数と指数関数が虚数単位i をなかだちに結びついている． これは人類が発見した数学史上最もうつくしい公式だ．

この公式を理解するには左辺の定義から始めなければならない． そのためにはいくらか準備がいる． 高校の範囲では厳密には論証しきれないところが出る．しかしそれはそれでかまわない． 厳密には大学数学のなかで学んでもらいたい． オイラー(1707〜1783)の時代も19世紀以降の数学から見ればそんなに厳密であったわけではない． しかし彼らはすばらしい洞察力で新しい数学的な現象を発見した．

事実としての数学的現象をつかむことが大切だ．