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一次変換を見る

2005.9.11

一次変換は平面全体の変換だ

南海 高校数学に一次変換が復活した.今日は一次変換を目で見てみよう.

一次変換は平面全体を平面に移す変換だ.個別の点や図形の行き先を見るだけではわかりにくい.

そのために,平面上の各点について,それが一次変換でどの点に移るのかを図示するのだ.

拓生 図示といっても,平面の点は無数にあります.

南海 もちろんそうだ.それで格子点,つまり座標が整数である点について,

その点と行き先とを線分で結んでいくのだ. とすれば,格子点 (x,y) と (ax+by, cx+dy) を結んでいくのだ.

これは点 (x,y) が点 (ax+by, cx+dy) に移るとも考えられるし,ベクトル (x,y) がベクトル (ax+by, cx+dy) に移るとも考えられる.

拓生 それでもたくさんあります.計算はたいへんです.

南海 そこで,プログラムだ.これはBASICの一番簡単な応用だ.

ここでは文教大学の白石和夫先生が作られた 十進BASIC を使った.

http://www.vector.co.jp/authors/VA008683/

にあるフリーソフトなので,手元のパソコンですぐに利用できる.

プログラムは

で終わり.これは,始点を赤の点「・」で,終点を小円「○」にとり,それを線分で結んだものが得られる.

固有方程式が2実解の場合

拓生 早速,a=2,b=1,c=1,d=1 を代入してみました.

なるほど.2つの方向が見て取れます.この直線上の点は同じ直線上の点に移るようです.

図に描き入れてみます.

南海 この方向はどのようにして求めるのだったか.「三項間漸化式と行列の累乗」の「固有値の方法」を参照してほしい.

拓生 それが固有値と固有ベクトルです.行列Aを とする.

となるベクトルが固有ベクトルです.つまり

です,

このようなベクトル  で零ベクトルでないものが存在するためには

左辺の行列が0,つまり

です.これを整理すると

南海 これを固有方程式という.

拓生 今の場合

これを解いて

です.

ですから固有ベクトルとして例えば

がとれます.実際

この方向が2本直線の方向なのですね.

南海 

今は方程式

が異なる2実解をもった.これが他の場合にどのようになるかを見ていこう.

重解の場合

南海  ではどうか.

拓生 このとき固有方程式は

で重解です.やってみます.

このようなとき行列の対角化はどうなるのだろう.

南海 それはまた,『線型代数入門』に書く予定だ.それを見てほしい.今は例を作ってみよう.

虚数解の場合

南海 ではどうか.

拓生 このとき固有方程式は

で虚数解です.やってみます.

これは渦巻きのように見えます.

南海 虚数解の場合は固定された方向は($xy$平面上には)存在しない.

 

回転の場合

南海  の近似として ではどうか.

拓生 やってみます.

その他の場合1

南海  ではどうか.

拓生 このとき固有方程式は

で,解は 1 と 5 です.やってみます.

えっ.

南海 これは一つの固有ベクトルが動かない場合だ.

このように1次変換は見ることができる.プログラムを工夫して,遊んでみてほしい.

その他の場合2

拓生  でやってみました.このとき固有方程式は

で,解は -3,2 と,最初の場合と異なり,固有値が正と負です.

その他の場合3

拓生  でやってみました.このとき固有方程式は

で,解は -3,-2 と,固有値がともに負です.

ずいぶんと動きが違うことがわかり,たいへんおもしろいです.


Aozora Gakuen