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入試問題の一般化

エジプト分数とは，有理数をいくつかの異なる単位分数（分子が 1 の分数）の和に表したものをいい，またその方式をいう．2006年の富山大学の入学試験に，1より小さい2個または3個からなるエジプト分数に関して，その最大値を求める次のような問題が出された．

     次の問いに答よ．

1. $a,\ b$を$a<b$， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}<1$を満たす任意の自然数とするとき， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$の最大値が$\dfrac{5}{6}$であることを証明せよ．
2. $a,\ b,\ c$を$a<b<c$， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}<1$を満たす任意の自然数とするとき， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$の最大値が $\dfrac{41}{42}$であることを証明せよ．

本問の最大値を与える$a,\ b,\ c$は$a=1+1=2$， $a=1+1=2$， $a=1+1=2$で得られるものであり，これはよく知られたシルベスター数列の第1，第2，第3項である．この入試問題は，1をエジプト分数で下から近似するとき，最良の近似がシルベスター数列から得られると，一般化される．

本稿では，さらにそれを一般化して，単位分数をエジプト分数で下から近似するとき，その最良の近似は，拡張された$N$シルベスター数列から得られる，という定理を証明する．そこで用いられる補題は1変数の場合のムーアヘッドの不等式である．