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1変数のムーアヘッドの不等式

次の補題はムーアヘッドの不等式の特別な場合である． この証明は「対称式と不等式」（文献［3］）に教えられたものである． 一般の場合のムーアヘッドの不等式については末尾の文献［2］，［3］，［4］を参照されたい．

補題 2        $n\ge 2$とする． 実数の列 $0\leq s_1\leq\cdots\leq s_n$ と $0\leq t_1\leq\dots\leq t_n$ は次の条件，

$$\sum_{i=1}^n s_i = \sum_{i=1}^n t_i,\quad かつ\ \sum_{i=1}^k s_i \leq \sum_{i=1}^k t_i\;\; (k=1,\dots,n-1)$$

を満たす．このとき任意の非負実数$x$に対し， 不等式

$$\sum_{i=1}^nx^{s_i}\geq \sum_{i=1}^nx^{t_i}$$

が成立する． $s_i\ne t_i$となる$i$が存在すれば，等号は$x=1$のときのみ成立する． □

証明      $x=0$なら明らかなので，$0<x$とする． このときの命題を$n$に関する数学的帰納法で示す．

$n=2$のとき．$s_1=t_1$なら $s_1+s_2=t_1+t_2$より$s_2=t_2$となって等号で成立． $s_1<t_1$とする．このとき条件から

$$s_1<t_1<t_2<s_2,\ \quad t_1-s_1=s_2-t_2$$

である．

$$\begin{eqnarray*} 左辺−右辺&=&x^{s_1}+x^{s_2}-x^{t_1}-x^{t_2}\\ &=&x^{s... ..._2}(x^{s_2-t_2}-1)\\ &=&x^{s_1}(1-x^{t_1-s_1})(1-x^{t_2-s_1}) \end{eqnarray*}$$

と変形される． $t_1-s_1>0,\ t_2-s_1>0$より$x\geqq 1$か$x\leqq 1$に応じて， $x^{t_1-s_1},\ x^{t_2-s_1}\geqq 1$か $x^{t_1-s_1},\ x^{t_2-s_1}\leqq 1$であるから

$$(1-x^{t_1-s_1})(1-x^{t_2-s_1})\ge 0$$

となり，$x=1$のときにかぎり等号が成立する．よって$n=2$のとき命題は成立する．

$n-1$以下のとき，命題が成立するとする．

$s_j=t_j$となる$j$があるとき． $s_j,\ t_j$を除く$n-1$個ずつの$s_i,\ t_i$も定理の条件をみたす． よって数学的帰納法の仮定から，等号成立条件を含め不等式は成立する．

$s_j=t_j$となる$j$がないとき．$s_1<t_1$，$s_n>t_n$なので， $1\le p \le n-1$で

$$s_p<t_p，t_{p+1}<s_{p+1}$$

となる$p$がある．ここで $u_i\ (1\leq i\leq n)$を次のように定義する．

$$\begin{array}{ll} \quad \; u_i=s_i\quad (i\ne p,\ p+1),\ \... ..._{p+1}<t_p-s_p のとき) \end{array} \right. \end{array}$$

このようにすると $0\leq u_1\leq\dots\leq u_n$であり，さらに

$$\sum_{i=1}^n s_i = \sum_{i=1}^n u_i\; \; \; \mbox{かつ} ... ...leq \sum_{i=1}^k u_i\leq \sum_{i=1}^k t_i\;\; (k=1,\dots,n-1)$$

が成立する． ところが$s_i$の列と$u_i$の列，$u_i$の列と$t_i$の列にはそれぞれ等しい項がある． よって， $s_j=t_j$なる$j$があるときと同様の理由で，数学的帰納法の仮定から

$$\sum_{i=1}^nx^{s_i}\geq \sum_{i=1}^nx^{u_i}\geq \sum_{i=1}^nx^{t_i}$$

が成立する．これから等号成立条件を含めて$n$の場合も成立し， すべての$n$で補題が成立する． （証明終わり）