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1変数のムーアヘッドの不等式

次の補題はムーアヘッドの不等式の特別な場合である. この証明は「対称式と不等式」(文献[3])に教えられたものである. 一般の場合のムーアヘッドの不等式については末尾の文献[2],[3],[4]を参照されたい.

補題 2        $n\ge 2$とする. 実数の列 $0\leq s_1\leq\cdots\leq s_n$ $0\leq t_1\leq\dots\leq t_n$ は次の条件,

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^n s_i = \sum_{i=1}^n t_i,\quad かつ\
\sum_{i=1}^k s_i \leq \sum_{i=1}^k t_i\;\; (k=1,\dots,n-1)
\end{displaymath}

を満たす.このとき任意の非負実数$x$に対し, 不等式

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^nx^{s_i}\geq
\sum_{i=1}^nx^{t_i}
\end{displaymath}

が成立する. $s_i\ne t_i$となる$i$が存在すれば,等号は$x=1$のときのみ成立する. □

証明      $x=0$なら明らかなので,$0<x$とする. このときの命題を$n$に関する数学的帰納法で示す.

$n=2$のとき.$s_1=t_1$なら $s_1+s_2=t_1+t_2$より$s_2=t_2$となって等号で成立. $s_1<t_1$とする.このとき条件から

\begin{displaymath}
s_1<t_1<t_2<s_2,\ \quad t_1-s_1=s_2-t_2
\end{displaymath}

である.

\begin{eqnarray*}
左辺−右辺&=&x^{s_1}+x^{s_2}-x^{t_1}-x^{t_2}\\
&=&x^{s...
..._2}(x^{s_2-t_2}-1)\\
&=&x^{s_1}(1-x^{t_1-s_1})(1-x^{t_2-s_1})
\end{eqnarray*}

と変形される. $t_1-s_1>0,\ t_2-s_1>0$より$x\geqq 1$$x\leqq 1$に応じて, $x^{t_1-s_1},\ x^{t_2-s_1}\geqq 1$ $x^{t_1-s_1},\ x^{t_2-s_1}\leqq 1$であるから

\begin{displaymath}
(1-x^{t_1-s_1})(1-x^{t_2-s_1})\ge 0
\end{displaymath}

となり,$x=1$のときにかぎり等号が成立する.よって$n=2$のとき命題は成立する.

$n-1$以下のとき,命題が成立するとする.

$s_j=t_j$となる$j$があるとき. $s_j,\ t_j$を除く$n-1$個ずつの$s_i,\ t_i$も定理の条件をみたす. よって数学的帰納法の仮定から,等号成立条件を含め不等式は成立する.

$s_j=t_j$となる$j$がないとき.$s_1<t_1$$s_n>t_n$なので, $1\le p \le n-1$

\begin{displaymath}
s_p<t_p,t_{p+1}<s_{p+1}
\end{displaymath}

となる$p$がある.ここで $u_i\ (1\leq i\leq n)$を次のように定義する.

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\quad \; u_i=s_i\quad (i\ne p,\ p+1),\ \...
..._{p+1}<t_p-s_p のとき)
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{displaymath}

このようにすると $0\leq u_1\leq\dots\leq u_n$であり,さらに

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^n s_i = \sum_{i=1}^n u_i\; \; \; \mbox{かつ}
...
...leq \sum_{i=1}^k u_i\leq \sum_{i=1}^k t_i\;\; (k=1,\dots,n-1)
\end{displaymath}

が成立する. ところが$s_i$の列と$u_i$の列,$u_i$の列と$t_i$の列にはそれぞれ等しい項がある. よって, $s_j=t_j$なる$j$があるときと同様の理由で,数学的帰納法の仮定から

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^nx^{s_i}\geq
\sum_{i=1}^nx^{u_i}\geq
\sum_{i=1}^nx^{t_i}
\end{displaymath}

が成立する.これから等号成立条件を含めて$n$の場合も成立し, すべての$n$で補題が成立する. (証明終わり)



Aozora
2013-09-03