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内積とベクトルの大きさ

南海　 ベクトルの絶対値 $\vert\mathrm{\bf u}\vert$と密接に関係あるのは内積だ． 2つのベクトル $\mathrm{\bf u}$と $\mathrm{\bf v}$の内積とは， $\mathrm{\bf u}$と $\mathrm{\bf v}$によって定まる実数 $\mathrm{\bf u}\cdot\mathrm{\bf v}$ のことだった． 内積と絶対値は相互にどのような関係があったか．

耕一　

$$\begin{array}{l} \vert\mathrm{\bf u}\vert^2=\mathrm{\bf u}... ...bf u}\vert^2 -\vert\mathrm{\bf v}\vert^2 \right\} \end{array}$$

です．

南海　 そこで，内積が先か，大きさが先かということになる． 結論的には，ベクトル空間は内積を基礎にする．

耕一　 『数学対話』-「高校数学の土台」-「座標の方法」-「ベクトルと座標」では， 内積の2つの定義

$$\begin{array}{l} \mathrm{\bf u}\cdot\mathrm{\bf v} =\math... ... \mathrm{\bf u}\cdot\mathrm{\bf v} =x_1x_2+y_1y_2 \end{array}$$

は同値である，と教わりました． ここで，角$\theta$は2つのベクトルのなす角， $\mathrm{\bf u}=(x_1,\ y_1),\ \mathrm{\bf v}=(x_2,\ y_2)$です．

南海　 今は，それ以前の議論をしている． 第1の定義のなかで用いられている「大きさ」と， 「なす角$\theta$」はどのように定めるのか． また，第2の定義で用いた座標は，ベクトル空間$V$では， まだ設定されていない．

耕一　 確かに．

南海　 ベクトル空間$V$の内積を，次のように定義しよう．

定義 4 (内積)
ベクトル空間$V$の2つのベクトル $\mathrm{\bf u}$と $\mathrm{\bf v}$に対して定まる 実数値 $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$が，次の性質をもつとき， $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$をベクトル $\mathrm{\bf u}$と $\mathrm{\bf v}$ の内積という．

任意のベクトル $\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v},\ \mathrm{\bf w}$と 実数$k$に対して

(i)

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})= B(\mathrm{\bf v},\ \mathrm{\bf u})$$

(ii)

$$\begin{array}{l} B(k\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v}) =kB(... ...thrm{\bf v}) +B(\mathrm{\bf w},\ \mathrm{\bf v}) \end{array}$$

(iii)

$$0\le B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u})\ かつ\ B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u})=0\iff \mathrm{\bf u}=\mathrm{\bf0}$$

第3の条件は，内積の定義そのものには不要で， この条件を満たすものを特に「正値な内積」と呼ぶのだが， 簡単のためここではこの条件も内積の定義のなかに入れておく． 直交座標が定まっていて，大きさが普通のユークリッド式の距離であるときは， $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$を $\mathrm{\bf u}\cdot\mathrm{\bf v}$ と書くのだった．

耕一　 $B$は何から来ているのですか．

南海　 性質(i)と(ii)は， $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$が， $\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v}$のそれぞれについて 一次(線型)であるということを意味している． すなわち $\mathrm{\bf v}$を固定し， $\mathrm{\bf u}$を変数とすると， $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$ は$V$から実数への線型写像になっている． 逆に $\mathrm{\bf u}$を固定しても同様である． つまり内積は双線型(bilinear)なのだ．この$B$から来ている．

さて，今はまだ座標も定まっていない段階だが， 普通の$xy$座標が入った平面ベクトルでの内積の例を作っておこう．

例 1.2.2   $xy$平面の2つのベクトル $\mathrm{\bf u}=(x_1,\ y_1),\ \mathrm{\bf v}=(x_2,\ y_2)$ に関して

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})= ax_1x_2+cx_1y_2+dy_1x_2+by_1y_2$$

と定める．これが内積になるための$a,\ b,\ c,\ d$の条件を求めよ．

耕一　 内積の満たすべき性質(i)から

$$\begin{eqnarray*} && B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})= ax_1x_2+cx_1y_2+dy_1x_2... ...mathrm{\bf v},\ \mathrm{\bf u})= ax_2x_1+cx_2y_1+dy_2x_1+by_2y_1 \end{eqnarray*}$$

がつねに成立しなければならない．よって$c=d$である． 内積の満たすべき性質(ii)が成立することは明らか． またこのとき，

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u})= a{x_1}^2+2cx_1y_1+b{y_1}^2$$

これが(iii)を満たすためには，この2次式のの判別式を$D$とすると

$$a>0,\ D/4=c^2-ab<0$$

詳しくは$x_1$か$y_1$の0でない方で割って2次関数にして考えなければなりませんが．

以上から

$$a>0,\ c=d,\ c^2-ab<0$$

ということは

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})= x_1x_2+2x_1y_2+2y_1x_2+5y_1y_2$$

なんかも内積になるのですね．

南海　 そう． さて，この内積を用いて， ベクトルの大きさとしての絶対値 $\vert\mathrm{\bf u}\vert _B$を次のように定める． $B$によって定まる絶対値という意味で$B$を添えて書いておこう．

$$\vert\mathrm{\bf u}\vert _B=\sqrt{B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u})}$$

絶対値はどんな性質をもっていたか．

耕一　

$$\vert k\mathrm{\bf u}\vert _B=\vert k\vert\vert\mathrm{\bf u}\vert _B$$

のような性質があります．

これは内積の定義から

$$\begin{eqnarray*} \vert k\mathrm{\bf u}\vert _B&=&\sqrt{B(k\mathrm{\bf u},\ k\ma... ...f u},\ \mathrm{\bf u})} =\vert k\vert\vert\mathrm{\bf u}\vert _B \end{eqnarray*}$$

とわかります．

南海　 問題は三角不等式だ．つまり内積とそれを用いた絶対値の定義に対し

$$\vert\mathrm{\bf u}+\mathrm{\bf v}\vert _B\le \vert\mathrm{\bf u}\vert _B+\vert\mathrm{\bf v}\vert _B$$

は，この一般の内積でも成立するか，だ．

耕一　 両辺負ではないので，2乗する． 左辺の2乗は

$$\begin{eqnarray*} \vert\mathrm{\bf u}+\mathrm{\bf v}\vert _B^2 &=&B(\mathrm{\bf ... ...(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})+ \vert\mathrm{\bf v}\vert _B^2 \end{eqnarray*}$$

また，右辺の2乗は

$$\vert\mathrm{\bf u}\vert _B^2+2\vert\mathrm{\bf u}\vert _B\vert\mathrm{\bf v}\vert _B+\vert\mathrm{\bf v}\vert _B^2$$

したがって三角不等式は，不等式

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})\le \vert\mathrm{\bf u}\vert _B\vert\mathrm{\bf v}\vert _B$$

と，同値です．

南海　 実はこれより強い

$$\{B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})\}^2\le \vert\mathrm{\bf u}\vert _B^2\vert\mathrm{\bf v}\vert _B^2$$

が成り立つ．

耕一　 これって，普通の場合，成分で書くと

$$(x_1x_2+y_1y_2)^2\le (x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)$$

ですね．コーシー・シュワルツの不等式ではありませんか．

南海　 そう．この不等式が一般的な内積で成立する．これを証明しよう．

定理 2 (コーシー・シュワルツの不等式)
ベクトル空間$V$に 内積 $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$が定まっている． 内積とそれから定まるベクトルの大きさ $\vert\mathrm{\bf u}\vert _B$の間に 次の不等式が成立する．

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})^2\le \vert\mathrm{\bf u}\vert _B^2\vert\mathrm{\bf v}\vert _B^2$$

証明

$\mathrm{\bf u}=\mathrm{\bf o}$のときは両辺0で成立． $\mathrm{\bf u}\not=\mathrm{\bf o}$とする． 内積の定義(iii)から，任意の実数$t$に対して

$$\begin{eqnarray*} 0&\le& B(t\mathrm{\bf u}+\mathrm{\bf v},\ t\mathrm{\bf u}+\mat... ...(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})t+\vert\mathrm{\bf v}\vert _B^2 \end{eqnarray*}$$

が任意の実数$t$に対して成立する． したがって$t$の二次式としての判別式について

$$D/4=B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})^2 -\vert\mathrm{\bf u}\vert _B^2\vert\mathrm{\bf v}\vert _B^2 \le 0$$

が成立する． 等号成立は $t\mathrm{\bf u}+\mathrm{\bf v}=\mathrm{\bf0}$ となる$t$が存在するときである．□

耕一　 ということは先の例で考えた内積でこれを実際に書くと

$$\begin{eqnarray*} &&(ax_1x_2+cx_1y_2+cy_1x_2+by_1y_2)^2\\ &\le& (a{x_1}^2+2cx_1y_1+b{y_1}^2)(a{x_2}^2+2cx_2y_2+b{y_2}^2) \end{eqnarray*}$$

です．もちろん条件

$$a>0,\ c^2-ab<0$$

の下でですが． これが一般化されたコーシー・シュワルツの不等式ですね． 普通は$a=b=1,\ c=0$ですが．

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