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二階線形型

解の存在

二階線形微分方程式の解の存在と解の構造についてまとめよう． まず，二階線形微分方程式の解の存在を示そう． 方針は一階正規形の場合と同様に， 微分方程式と初期条件を一つの積分方程式$y=F(y)$に還元し， $F(y)$が縮小写像であるようにとれることを示し，解の存在を示す． 初期条件が複雑な分だけ$F$の構成が複雑である．

定理 85        $p(x),\ q(x),\ r(x)$を実数$\mathbb{R}$で定義された連続な関数とする． 二階線形微分方程式

$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$ (8)

の解で，初期条件 $(0,\ \alpha,\ \beta)$を満たす，つまり

$$y(0)=\alpha,\ y'(0)=\beta$$

となるものが一意に存在する． ■

証明     $y''(x)=u(x)$とおく．$y''$についての初期条件はないので， これをもとに初期条件を満たす$y',\ y$を構成する．

$$\begin{eqnarray*} y'(x)&=&\beta+\int_0^xu(s)\,ds\\ y (x)&=&\alpha+\int_0^xy'(... ...-\int_0^xtu(t)\,dt\\ &=&\alpha+\beta x+\int_0^x (x-t)u(t)\,dt \end{eqnarray*}$$

これらが微分方程式を満たすように$u(x)$が決定できればよい． 積分変数をそろえて微分方程式に代入する．

$$\begin{eqnarray*} &&u(x)+p(x)\left(\beta+\int_0^xu(t)\,dt\right)+q(x) \left(\a... ...ight)q(x) +\int_0^x\left\{p(x)+(x-t)q(x) \right\}u(t)\,dt=r(x) \end{eqnarray*}$$

そこで

$$\begin{eqnarray*} \varphi(x)&=&r(x)-\beta p(x)-\left(\alpha+\beta x \right)q(x)\\ K(x,\ t)&=&-p(x)-(x-t)q(x) \end{eqnarray*}$$

とおくと

$$u(x)=\int_0^xK(x,\ t)u(t)\,dt+\varphi(x)$$ (9)

となる．これを満たす$u(x)$が一意に存在することを示せばよい．

任意の正数$a$をとり，区間$I=[-a,\ a]$上の連続関数空間を$C(I)$とする． $C(I)$から$C(I)$への写像$F$を

$$v=F(u),\quad v(x)=\int_0^xK(x,\ t)u(t)\,dt+\varphi(x)$$

で定める．

$K(x,\ t)$は連続であるから， $x,\ t \in I$のとき $\left\vert K(x,\ t) \right\vert\le M$としてよい．

$u_1,\ u_2\in C(I)$をとる．

$$\begin{eqnarray*} \left\vert F(u_1)(x)-F(u_2)(x) \right\vert &=&\left\vert\int... ...t)\right\vert\,dt\right\vert\\ &\le&Md(u_1,\ u_2)\vert x\vert \end{eqnarray*}$$

$u_1,\ u_2$を $F(u_1),\ F(u_2)\in C(I)$に変えてもよい．

$$\begin{eqnarray*} \left\vert F^2(u_1)(x)-F^2(u_2)(x) \right\vert &\le&M\left\v... ...dt\right\vert\\ &\le&M^2d(u_1,\ u_2)\dfrac{\vert x\vert^2}{2} \end{eqnarray*}$$

自然数$k$に対して

$$\left\vert F^k(u_1)(x)-F^k(u_2)(x) \right\vert \le\dfrac{(M\vert x\vert)^k}{k!}d(u_1,\ u_2)$$ (10)

と仮定すると，

$$\begin{eqnarray*} \left\vert F^{k+1}(u_1)(x)-F^{k+1}(u_2)(x) \right\vert &\le&... ...vert\\ &\le&\dfrac{(M\vert x\vert)^{k+1}}{(k+1)!}d(u_1,\ u_2) \end{eqnarray*}$$

より，数学的帰納法によって仮定10が一般に成り立つ． $x\in I$であるから

$$d\left(F^k(u_1),\ F^k(u_2)\right) \le \dfrac{(Ma)^k}{k!}d(u_1,\ u_2)$$

ところが $$\lim_{k \to \infty}\dfrac{(Ma)^k}{k!}=0$$なので， $k$を大きくとることにより $\dfrac{(Ma)^k}{k!}<1$にとることができる．

この$k$について$F^k$は$C(I)$の縮小写像であり， 定理72によって$F^k$はただ一つの不動点 $y=F^k(y)\ ,\ y\in C(I)$をもつ． このとき

$$F(y)=F^{k+1}(y)=F^k\left(F(y) \right)$$

となり，$F(y)$も$F^k$の不動点である．$F^k$の不動点は一意であるから，

$$F(y)=y$$

であり．つまり$y$は$F$の不動点である．$F$の不動点は$F^k$の不動点でもあるから， 一意である．よって$F$はただ一つの不動点$y$をもつことが示された．

いいかえると任意の正数$a$に対して， 積分方程式9の解 $y=y(x)\ (定義域$I=[-a, a]$)$ が一意に存在することが示された．

これは微分方程式8に対して， $I=[-a,\ a]$で定義され$(-a,\ a)$で微分可能な解が存在することを意味している． □

実数の完備性にはじまり微分方程式の解の存在に至る道を， とにかく歩き通すことができた． 二階線形微分方程式の解の集合は空ではない．解の集合の構造を考えよう．

解集合の構造

特に$r(x)=0$であるものを同次方程式という． これに関して次の定理が成り立つ．

定理 86        実数で定義された連続な関数$p(x),\ q(x)$に対する二階線形微分方程式 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$において

1. $y_1,\ y_2$が解ならば，任意の定数$c_1,\ c_2$に対して$c_1y_1+c_2y_2$も解である．
2. $y_1,\ y_2$が解で，かつ定義域のすべての$x$に対して
   
   $$W(y_1,\ y_2)(x)= \left\vert \begin{array}{cc} y_1&y_2\\ {y_1}'&{y_2}' \end{array} \right\vert\ne 0$$
   
   が成り立つなら，任意の解は適当な定数$c_1,\ c_2$を用いて$c_1y_1+c_2y_2$と表される．

$W(y_1,\ y_2)(x)$をロンスキアンという．

証明

(1)

$$\begin{eqnarray*} &&(c_1y_1+c_2y_2)''+p(x)(c_1y_1+c_2y_2)'+q(x)(c_1y_1+c_2y_2)\... ...1({y_1}''+p(x){y_1}'+q(x)y_1)+c_2({y_2}''+p(x){y_2}'+q(x)y_2)=0 \end{eqnarray*}$$

より，$c_1y_1+c_2y_2$も解である．

(2)     任意の解$y$をとる． 行列 $\matrix{y_1}{y_2}{{y_1}'}{{y_2}'}$は， $y_1{y_2}'-y_2{y_1}'\ne 0$より逆行列をもつ． そこで

$$\matrix{y_1}{y_2}{{y_1}'}{{y_2}'}^{-1}\vecarray{y}{y'}=\vecarray{u}{v}$$

とおく．つまり

$$\vecarray{y}{y'}=\matrix{y_1}{y_2}{{y_1}'}{{y_2}'}\vecarray{u}{v}$$

より

$$\begin{array}{l} y=uy_1+vy_2\\ y'=u{y_1}'+v{y_2}'\\ \end{array}$$

となる．第一式を微分して $y'=u{y_1}'+u'y_1+v{y_2}'+v'y_2$となる． 第二式と比較して $u'y_1+v'y_2=0$となる． 第二式を微分して $y''=u{y_1}''+u'{y_1}'+v{y_2}''+v'{y_2}'$となる． ここで

$$\begin{eqnarray*} 0&=&y''+p(x)y'+q(x)y\\ &=&u{y_1}''+v{y_2}''+u'{y_1}'+v'{y_2... ...}\\ &&\quad \quad +u'{y_1}'+v'{y_2}'\\ &=&u'{y_1}'+v'{y_2}' \end{eqnarray*}$$

したがって

$$\begin{array}{l} u'y_1+v'y_2=0\\ u'{y_1}'+v'{y_2}'=0 \end{array}$$

となる．つまり

$$\matrix{y_1}{y_2}{{y_1}'}{{y_2}'}\vecarray{u'}{v'}=\vecarray{0}{0}$$

である． $y_1{y_2}'-y_2{y_1}'\ne 0$より

$$u'=0,\ v'=0$$

を得る．つまり$u$と$v$は定数である．よってこれを$c_1,\ c_2$とおくと

$$y=c_1y_1+c_2y_2$$

と表された． □

実数で定義され二階微分可能な実数値関数の集合を$X$とおく． $X$は実数上のベクトル空間である． $X$から$X$への写像$L$を

$$L(y)=y''+p(x)y'+q(x)y$$

で定める．定理の証明と同様に$L$は$X$の線型写像である． 定理86は$y_1,\ y_2$が$L^{-1}(0)$の基底となるための条件を示している．

微分方程式

$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$

の解とは，$r(x)$の原像$L^{-1}(r(x))$ に他ならない．従って一つの解$y_0$が求まれば，他の解はすべて

$$y_0+y,\ \quad y\in L^{-1}(0)$$

で得られる． 常微分方程式の実用的な解法については，多くの参考書がある． 次: 惑星の運動 上: 微分方程式 前: 解の存在定理