001a

1. z⁹=-1 である．また $\bar{z}=\cos 20^{\circ} -i\sin 20^{\circ}=\dfrac{1}{z}$ である． z⁹+1=(z³+1)(z⁶-z³+1) で $z^3 \ne -1$ なので $\begin{displaymath}z^6-z^3+1=0\quad \Rightarrow \quad z^3-1+\dfrac{1}{z^3}=0\qua... ...(z+\dfrac{1}{z} \right)^3-3 \left( z+\dfrac{1}{z} \right)-1=0 \end{displaymath}$ つまり $\alpha$ は $\alpha^3-3\alpha -1=0$ を満たすので x³-3x -1=0 の解である．
2. f(x)=x³-3x -1 とおく． f'(x)=3x²-3 より f'(x)=0 の解は $x=\pm 1$ $\begin{displaymath}f(1)\cdot f(-1)=(-3)(1)<0 \end{displaymath}$ であるから， f(x)=0 は異なる3実数解を持つ． 有理数解 $x=\dfrac{p}{q}\ (p,\ q\ は互いに素な整数)$ を持つとする． $\begin{displaymath}\left(\dfrac{p}{q} \right)^3-3 \left(\dfrac{p}{q} \right) -1=0 \end{displaymath}$ より p³-3pq²-q³=0 これから $\begin{displaymath}p^3=3pq^2+q^3=q(3pq+q^2) \quad q^3=p(p^2-3pq) \end{displaymath}$ p,qは互いに素な整数なので p=q=1 ．しかし x=1 は明らかに解でない．よって有理数の解はない．
3. $\alpha$ が2次方程式 $ax^2+bx+c=0\ (a,\ b,\ c 有理数)$ の解とする． $a\ne 0$ なので a で割ることにより $x^2+bx+c=0\ (b,\ c 有理数)$ の解とできる． $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} \alpha^3-3\alpha -1=0\\ \alpha^2+b\alpha +c=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ x³-3x-1=(x²+bx+c)(x-b)+(b²-c-3)x+bc-1 より $\begin{displaymath}(b^2-c-3)\alpha+bc-1=0 \end{displaymath}$ つまり $\begin{displaymath}\alpha=\dfrac{bc-1}{b^2-c-3},\ またはb^2-c-3=0\ かつ\ bc-1=0 \end{displaymath}$ 第1の場合 $\alpha$ は有理数であり得ないことに反する． 第2の場合 $c=\dfrac{1}{b}$ より $b^2-\dfrac{1}{b}-3=0$ .つまり b³-3b-1=0 b が x³-3x -1=0 の解である．ところが x³-3x -1=0 は有理数の解を持ち得ないのであるから， b が有理数であることと矛盾した． よって有理数を係数とする2次方程式で， $\alpha$ を解とするものは存在しないことが示された．