京大理系前期5　問題　解説　2001年入試に戻る
(1) 条件(イ)より zk は1と異なる1の p 乗根である．
\begin{displaymath}\alpha=\cos\dfrac{2\pi}{p}+i\sin\dfrac{2\pi}{p} \end{displaymath}
とおくと， 1と異なる1の p 乗根は
\begin{displaymath}z_k=\alpha^{x_k},\ x_k \ は\ 1\le x_k \le p-1 \ の範囲の整数 \end{displaymath}
一意に表される． このとき条件(ロ)は
\begin{displaymath}x_1+x_2+\cdots+x_n=(p\ の倍数) \quad \cdots \maru{1} \end{displaymath}
となる． an はの解
\begin{displaymath}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)\ ,\ 1\le x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n \le p-1\ \end{displaymath}
の個数を表す．
\begin{displaymath}x_n=(pの倍数)-(x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}) \end{displaymath}
であるから， $(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1})$ を が pの倍数でないようにさえ選べば，一組の解が得られる．
\begin{displaymath}∴ \quad a_n=(p-1)^{n-1}-a_{n-1}\ (n\ge 3) \end{displaymath}
ここで a2 を求める． a2 はx1+x2 がpの倍数となる
\begin{displaymath}(x_1,\ x_2)=(1,\ p-1),\ (2,\ p-2),\ \cdots ,\ (p-1,\ 1) \end{displaymath}
の p-1 個である．
a2=p-1

\begin{displaymath}∴ \quad a_3=(p-1)^2-(p-1)=(p-1)(p-2) \end{displaymath}


(2) (1)から
\begin{displaymath}a_{n+2}=(p-1)^{n+1}-a_{n+1}\ \end{displaymath}
(3)
\begin{displaymath}a_{n+1}=(p-1)^n-a_n\ \end{displaymath}
を解く． $p-1\ne 0$ なので
\begin{eqnarray*}&&\dfrac{a_{n+1}}{(p-1)^{n+1}} =-\dfrac{1}{p-1}\cdot\dfrac{a_... ...ght)^{n-2} \left\{ \dfrac{a_2}{(p-1)^2}+\dfrac{1}{p}\right\} \end{eqnarray*}
これから
\begin{displaymath}a_n=\dfrac{p-1}{p}\{(p-1)^{n-1}-(-1)^{n-1}\} \end{displaymath}
［漸化式の別解］

\begin{displaymath}x_1+x_2+\cdots+x_n+x_{n+1}+x_{n+2}=(p\ の倍数) \end{displaymath}

の解を二つに分類する．

(i) xn+1+xn+2 がpの倍数のとき．この $(x_{n+1},\ x_{n+2})$ は a2=p-1 個ある．それぞれに対し

\begin{displaymath}x_1+x_2+\cdots+x_n=(p\ の倍数)-(x_{n+1}+x_{n+2})=(p\ の倍数) \end{displaymath}
となる．x1+x2+…+xn　の部分の決め方はan通りある．ゆえにこの場合の個数は

 
(ii) xn+1+xn+2 がpの倍数でないとき． yn+1=xn+1+xn+2 とおくと
\begin{displaymath}x_1+x_2+\cdots+x_n+y_{n+1}=(p\ の倍数) \end{displaymath}
の解は an+1 個ある．
　各 yn+1 に対して yn+1=xn+1+xn+2+(pの倍数) となる $(x_{n+1},\ x_{n+2})$ は p-1 組ある．
　なぜなら xn+1 はyn+1 と同じにはとれない(同じにとるとxn+2がとれない)が，逆に異なれば yn+1-xn+1と p で割ったの余りが等しいxn+2が一つ定まる． ゆえにこの場合の個数は

　それぞれは排反事象である． 

\begin{displaymath}∴ \quad a_{n+2}=(p-2)a_{n+1}+(p-1)a_n \end{displaymath}