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金沢後期理系

(1)

$\mathrm{A}(k,\ l),\ \mathrm{B}(m,\ n)$ とする． N(A)=N(B) より kp+lq=mp+nqである．つまり

p(k-m)=q(n-l)

であるが， p と q が互いに素なので k-m が q の倍数でなければならない． ところが $0\le k,\ m<q-1$ なので

-(q-1)<k-m<q-1

である．この範囲で q の倍数は0しかない．つまり k=m . その結果 l=n となり， A=B であることが示された．

(2)

$\mathrm{A}^{\char93 }=\mathrm{A}$ とする．つまり

$$q-2-m=m,\ p-2-n=n$$

これから

$$q=2m+2,\ p=2n+2$$

となり， p と q は公約数2をもち互いに素であることに反する．ゆえに $\mathrm{A}^{\char93 }\ne \mathrm{A}$ である．

(3)

条件 $N(\mathrm{A})\le pq-(p+q)$ は

$$mp+nq\le pq-(p+q)$$

である．他方，条件 $N(\mathrm{A}^{\char93 })\ge pq-(p+q)$ は

$$(q-2-m)p+(p-2-n)q\ge pq-(p+q)$$

である．ここで

$$\begin{eqnarray*}&&(q-2-m)p+(p-2-n)q\ge pq-(p+q)\\ &\iff&pq-mp-nq-p-q\ge 0\\ &\iff&pq-(p+q)\ge mp+nq \end{eqnarray*}$$

ゆえに2つの条件が同値であることが示され，題意が示された．

(4)

(3)から N(A)=pq-(p+q) なら $N(\mathrm{A}^{\char93 })= pq-(p+q)$ となる．つまり等号が成立すると $N(\mathrm{A})=N(\mathrm{A}^{\char93 })$である． (1)から $\mathrm{A}=\mathrm{A}^{\char93 }$となるが，これは(2)の結果と矛盾する． ゆえに $N(\mathrm{A})\le pq-(p+q)$ で等号は成立しない． $\mathrm{A}(m,\ n)$ のとき

$$(\mathrm{A}^{\char93 })^{\char93 }=(q-2-(q-2-m),\ p-2-(p-2-n))=(m,\ n)=\mathrm{A}$$

なので，L の元 Aと $\mathrm{A}^{\char93 }$は1:1に対応する．(4)から $N(\mathrm{A})\le pq-(p+q)$ となる L の元 A の個数は L の半分である． L は明らかに (p-1)(q-1) 個からなるので，求める元の個数は

$$\dfrac{(p-1)(q-1)}{2}$$