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横国大後期理系

(1)

$g(0)=b,\ g(1)=1+a+b,\ g(-1)=1-a+b$なので a=b=0 ． $h(0)=d,\ h(1)=1+c+d,\ h(-1)=-1-c+d$なので $c=-1,\ d=0$ ．

(2)

M の任意の要素 f(x) は f(0)=0 より定数項は0なので， f(x) を偶数次数の項と奇数次数の項に分けて

$$f(x)=\sum_{k=1}^na_kx^{2k}+\sum_{k=1}^mb_kx^{2k-1}$$

とおく．条件 f(1)=f(-1) より

$$\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^mb_k=\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^mb_k$$

つまり

$$\sum_{k=1}^mb_k=0$$

したがって $b_1=-(b_2+b_3+\cdots+b_m)$である．

$$∴ \quad \sum_{k=1}^mb_kx^{2k-1}=\sum_{k=2}^mb_k(x^{2k-1}-x)$$

ここで

$$\begin{eqnarray*}x^{2k-1}-x&=&(x^{2k-1}-x^{2k-3})+(x^{2k-3}-x^{2k-5})+\dots+(x^3... ...)+\dots+(x^3-x)\\ &=&g(x)^{k-2}h(x)+g(x)^{k-3}h(x)+\dots+h(x) \end{eqnarray*}$$

f(x) は x^2k と x^2k-1-x で構成されていて，各々が k(g(x))^m(h(x))ⁿ で書き表されるので，この形の多項式をいくつか加え合わせたものであることが示された．

 

(2)の別解

M の要素の次数に関する数学的帰納法で示す． M の要素 f(x) をとる． $f(x)=a_nx^n+\cdots$ と最高次数の係数を a_n とおく．

$f(x)\in M$ の次数が0のとき． f(0)=0 より f(x)=0 ，つまりa₀=0． 定数 k を k=0 にとれば成立．

$f(x)\in M$ の次数が1のとき． f(x)=a₁x+a₀ とおく．条件から a₀=a₁=0 つまり集合 M に1次式は存在しない．

$0,\ 2,\ \cdots,\ n-1$ までの次数について成立するとし， 次数 n のときに成立することを示す．

(1)

n=3j つまり n が3の倍数のとき． F(x)=f(x)-a_nh(x)^j とおく． F(0)=f(0)-a_nh(0)^j=0 ， F(1)=f(1)-a_nh(1)^j， F(-1)=f(-1)-a_nh(-1)^jなので F(1)=F(-1) も成立．ゆえに $F(x)\in M$ で次数は n より小さいので， 数学的帰納法の仮定により F(x)は k(g(x))^m(h(x))ⁿの形の多項式の和．したがって f(x)=F(x)+a_nh(x)^j も k(g(x))^m(h(x))ⁿの形の多項式の和である．

(2)

n=3j-1 のとき． n=3(j-1)+2 なので F(x)=f(x)-a_ng(x)h(x)^j-1 とおく．同様に $F(x)\in M$ で次数はn より 小さい．ゆえに(i)とおなじく f(x) は k(g(x))^m(h(x))ⁿの形の多項式の和である．

(3)

n=3j-2 のとき． n=1 ならすでに示されたので $j\ge 2$ とする． n=3(j-2)+4 なので F(x)=f(x)-a_ng(x)²h(x)^j-2 とおく． 同様に $F(x)\in M$ で次数はn より小さい． ゆえに(i)とおなじく f(x) は k(g(x))^m(h(x))ⁿの形の多項式の和である．

したがって， n のときも成立し，題意が示された．