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慶応理工

(1)

f(x) を N 次多項式とし， $$f(x)=\sum_{j=0}^Na_jx^j$$ とおく． ここで各a_j は整数である．

$$f(m+n)-f(n)=\sum_{j=0}^Na_j(m+n)^j-\sum_{j=0}^Na_jn^j =\sum_{j=0}^Na_j\{(m+n)^j-n^j\}$$

ここで，

$$(m+n)^j-n^j=\left(\sum_{i=0}^j{}_j \mathrm{C}_im^in^{j-i}\rig... ...} =m\left(\sum_{i=1}^j{}_j \mathrm{C}_im^{i-1}n^{j-i}\right)$$

である．ゆえに f(m+n)-f(n) は m の倍数である．

(2)

f(n) は整数なので，(1)で m=f(n)k とおくと f(n+f(n)k)-f(n) は m=f(n)k の倍数である．したがって任意の整数 k に対し f(n+f(n)k)-f(n) は f(n) の倍数である．

(3)

(2)から f(n+f(n)k)-f(n)は f(n) の倍数であるので， k によって定まる定数 M(k) を用いて

f(n+f(n)k)-f(n)=M(k)f(n)

つまり

$$f(n+f(n)k)=\{M(k)+1\}f(n)$$

と表せる． 任意の自然数 n に対し f(n) が素数なので f(n+f(n)k) も素数． f(n)=1 となる n が無数にあれば恒等式の原理から f(x) は定数． f(n)=0 となる n が無数にあれば恒等式の原理から f(x) は定数． f(n) が0でも1でもない n が存在するとき，その n を固定する． このときすべての k に対して $\{M(k)+1\}=1$．つまり

f(n+f(n)k)=f(n)

がすべての k について成立． $f(n)\ne 0$ より f(x)=f(n) となる x が無数に存在する． したがってこの場合も同様に f(x) は定数である．