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東大理系後期総合II

(1)

ランダムウオークと呼ばれる確率過程を考えよう．1次元の数直線上を ランダムに移動する人を考える．時刻0において，数直線の原点に人がいるものとする． この人は時間ステップが1進むごとに＋または−方向に1だけ移動するものとし， 同じ確率，すなわち $\dfrac{1}{2}$ の確率で＋方向に， $\dfrac{1}{2}$ の確率で−方向に動くものとする．次の時間ステップでは，再び， $\dfrac{1}{2}$ ずつの確率で＋または−方向を選んで移動し， これを繰り返すものとする．この過程において

(a)

時刻0から時間ステップが3進んだときに，この人が存在する可能性のある 場所とそこにいる確率を求めよ．

(b)

時刻0から時間ステップが6進んだときに，この人が原点にいる確率を求めよ．

(c)

時刻0から時間ステップが6進んだときに，スタートしてから初めてこの人が 原点に戻ってくる確率を求めよ，

(2)

ランダムウオークの応用として，ギャンブラ―の破産問題と呼ばれるものを考え る．あるギャンブラーの最初の所持金を2ドルとする．l回賭けを行うごとに，勝てば所 持金が1ドル増え，負ければ1ドル失うものとする．所持金がなくなればギャンブラーは 破産しそこで賭けは終わり、また、所持金が5ドルになれば賭けは終了とする． 1回の賭けで勝つ確率を $\dfrac{2}{3}$，負ける確率を $\dfrac{1}{3}$ としたとき， このギャンブラーが破産して終了する確率はいくらとなるかを考えてみよう．この問題 を数直線上で考えると，数直線上の位置2からスタートし，0と5の間で＋方向ヘ移動する 確率が $\dfrac{2}{3}$，−方向へ移動する確率が $\dfrac{1}{3}$ のらランダムウォーク となる．0または5に達したときに賭けは終了する． さて，ランダムウオークでは，状態の変化は確率的に定まり，その確率は一定 ある．すなわち，ある状態にある場合、それ以降の過程は時刻や履歴にはよらず 確率的に定まる，したがって，ギャンブラ―の破産確率は，単にそのときの所持金の 額だけで決まる．これを $r(i)\ (i=0,\ 1,\ \cdots,\ ，5)$としよう．r(i)は 所持金が i であるときに，破産して終了する確率である．

(a)

r(2)を $r(1),\ r(3)$で表せ．

(b)

このような関係式を各状態について表し，それらを用いて最初の所持金が 2ドルのギャンブラーが破産して終了する確率を求めよ．