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九大前期理系

平面上の点の x 座標と y 座標がどちらも整数であるとき，その点を格子点という．

与えられた格子点を第1番目とし，この点から右斜め $45^{\circ}$，または右斜め $-45^{\circ}$の方向にもっとも近い第2番目の格子点をとり，この2点を線分で結ぶ． 同様にして第2番目の格子点から第3番目の格子点をとり，第2番目と第3番目を線分で結ぶ． 以下これを有限回繰り返し，こうしてできる線分をつないだものを折れ線グラフというこ とにする．右図に原点 Oと格子点$(9,\ -1)$を結ぶ折れ線グラフの例を示す．

次の問いに答えよ．

(1)

n は正の整数， k は $0\le k\le n$ なる整数とする． 原点 Oと格子点 $(n,\ k)$を結ぶ折れ線グラフが存在するための 必要十分条件は n+k が偶数であることを示せ．またこの必要十分条件が みたされているとき，原点 Oと格子点$(n,\ k)$を結ぶ折れ線 グラフの数を求めよ．

(2)

nは2以上の整数， k は $0\le k\le n-2$なる整数で， n+k は偶数とする．原点 Oと格子点$(n,\ k)$を結ぶ折れ線グラフ であって格子点 $(0,\ k),\ (1,\ k),\ \cdots,\ (n-2,\ k)$の少なくとも1つを 通る折れ線グラフの数は，原点 Oと格子点 $(n-1,\ k+1)$を結ぶ折れ線 グラフの数の2倍に等しいことを示せ．

(3)

コインを9回投げる．1回から i 回までの試行において，表の出た回数から 裏の出た回数を引いた数を T_i で表す．このとき各格子点 $(i,\ T_i),\ i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9$を順番に線分でつなげば 折れ線グラフが得られる．ただし，T₀=0とする。T₉=3が起きたとき， どの $T_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$も3にならない条件つき確率を求めよ.