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大阪女子大前期理系

3つの箱 $\mathrm{A}_0,\ \mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$ と1つの球があり， 球は3つの箱 $\mathrm{A}_0,\ \mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$ の1つに入っている． 球をそのときに入っている箱から他の2つの箱のどちらかに確率 $\dfrac{1}{2}$ で 移動させる．最初に球は箱 A₀ に入っているものとし， k 回 移動させた後に球が箱 A_n に入っている確率を P_n(k) とする． P_n(k) を用いて Q_n(k) を

$$Q_n(k)=P_0(k)+\bar{\omega}^nP_1(k)+\omega^nP_2(k)\ \left(\omega=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$$

と定義する．ただし， $\bar{\omega}$ は $\omega$ に共役な複素数である． このとき，次の問いに答えよ．

(1)

$P_0(1),\ P_0(2),\ P_0(3),\ P_0(4)$を求めよ．

(2)

$n=0,\ 1,\ 2$ に対して，次の式が成立することを示せ．

$$P_n(k)=\dfrac{1}{3}\{Q_0(k)+\omega^nQ_1(k)+\bar{\omega}^nQ_2(k)\}$$

(3)

$n=0,\ 1,\ 2$ に対して， Q_n(k+1) を Q_n(k) を用いて表せ．

(4)

P₀(k) を k を用いて表せ．