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金沢大理系後期

行列 ， $J=\matrix{1}{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}{-1}$ に対して $A=\dfrac{1}{3}E+\dfrac{\sqrt{3}}{3}J$ とおく．

(1)

$s_n,\ t_n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$ は $s_n+it_n= \left(\dfrac{1+\sqrt{3}i}{3} \right)^n$ を満たす実数とする． ただし， i は虚数単位である．$s_n,\ t_n$を求めよ．また，これらの$s_n,\ t_n$ に対して， Aⁿ=s_nE+t_nJ が成り立つことを示せ．

(2)

O を原点とする座標平面上の点列 $\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$ を

$$\vecarray{x_n}{y_n}=A^n\vecarray{1}{0}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$$

によって定め， $\bigtriangle上 \mathrm{OP}_n\mathrm{P}_{n+1}$ の面積を R_n とする．

(a)

R_n を求めよ．

(b)

$$\sum_{n=1}^{\infty}R_n$$ を求めよ．