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富山医科薬科

$A=\matrix{ \frac{5}{2}}{-1}{1}{0}$ とし，数列 $\{x_n\},\ \{y_n\}$ を

$$\vecarray{x_0}{y_0}=\vecarray{1}{1},\ \vecarray{x_n}{y_n}=A\vecarray{x_{n-1}}{y_{n-1}} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$$

によって定義する．

(1)

を 満たすような定数 $a,\ b,\ c$ を求めよ．

(2)

(1)の定数 $a,\ b,\ c$ は任意の $n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$ に 対して ax_n²+bx_ny_n+cy_n²=-1を満たすことを証明せよ．

(3)

任意の $n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$ に対して $0<y_n\le x_n$ かつ $x_{n+1}\ge \dfrac{3}{2}x_n$ が成立することを証明せよ．

(4)

$$\lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}\dfrac{y_n}{x_n}$$ を求めよ．