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1.

$n\ge 1$ に対し a_n+1=S_n+1-S_n である．ゆえに n(n-2)(S_n+1-S_n)=S_nが成り立つ．これから

$$n(n-2)S_{n+1}=(n-1)^2S_n \quad \cdots\maru{1}$$

$n\ge 3$ のとき，

$$\dfrac{n}{n-1}S_{n+1}=\dfrac{n-1}{n-2}S_n$$

したがって

$$\dfrac{n-1}{n-2}S_n=\dfrac{2}{1}S_3$$

ここで $$\lim_{n \to \infty}S_n=1$$なので，

$$\lim_{n \to \infty}\dfrac{n-1}{n-2}S_n=1$$

したがって $\dfrac{2}{1}S_3=1$ となり， $S_3=\dfrac{1}{2}$

$$∴ \quad S_n=\dfrac{n-2}{n-1}\ (n \ge 3)$$

つまり$n\ge 4$ のとき

$$a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{n-2}{n-1}-\dfrac{n-3}{n-2}=\dfrac{1}{(n-1)(n-2)}\quad \cdots\maru{2}$$

一方で n=2 とすれば S₂=0 ． $S_3=\dfrac{1}{2}$ とあわせて

$$a_2=-1,\ a_3=\dfrac{1}{2}$$

n=3 のときは式に含まれる．

$$∴ \quad a_1=1,\ a_2=-1,\ a_n=\dfrac{1}{(n-1)(n-2)}\ (n \ge 3)$$