次: 4. 上: 2. 解答 前: 2.

3.

(1) $\vert\alpha\vert=1$なので $\bar{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha}$ である．

$$∴ \quad z_3 =\dfrac{\alpha^2}{4}\dfrac{\bar{z}_1{z_2}}{\bar{z}_2} =\dfrac{\alpha^{10}}{4}$$

同様に $z_4=\dfrac{\alpha^{18}}{8}$ ． これから $\alpha$ のべき部分の指数の数列から階差をとって推測する．その結果 z_n は

$$z_n=\dfrac{\alpha^{(n-1)(n+2)}}{2^{n-1}}$$

と推測される．これを数学的帰納法で示す． $n=1,\ \cdots 4$ では成立． n-1 で成立とする．このとき

$$z_n =\dfrac{\alpha^2}{4}\cdot\bar{z}_{n-2}\cdot\dfrac{{z_{n... ...dot\alpha^{2(n-2)(n+1)} =\dfrac{\alpha^{n^2+n-2}}{2^{n-1}}$$

となり n で成立する．ゆえに

$$z_n=\dfrac{\alpha^{(n-1)(n+2)}}{2^{n-1}}$$

(2) $\alpha=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}$なので $\alpha^3=1$ ． 一方，自然数 N に対して

$$\left\vert\sum_{k=1}^{N}z_k\right\vert \le \sum_{k=1}^{N}\vert z_k\vert =\sum_{k=1}^{N}\dfrac{1}{2^{k-1}}<1$$

ゆえに $$\sum_{k=1}^{\infty}z_k$$ は收束する．

$$∴ \quad \sum_{k=1}^{\infty}z_k =\sum_{k=1}^{\infty}x_k+i \left(\sum_{k=1}^{\infty}y_k \right)$$

(n+3)²+(n+3)-2-(n²+n-2)=6n+12 なので $\alpha^{n^2+n-2}$ は 3回毎に同じ値をくり返す．

$$\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{\infty}z_k&=&\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\alpha^{(k-1... ...+\dfrac{3}{4}\alpha \right)=\dfrac{5}{7}+\dfrac{3\sqrt{3}}{7}i \end{eqnarray*}$$

$$∴ \quad \sum_{k=1}^{\infty}x_k=\dfrac{5}{7}\ , \quad \sum_{k=1}^{\infty}y_k=\dfrac{3\sqrt{3}}{7}$$