次: 5. 上: 2. 解答 前: 3.

4.

(1) 最初は任意で，以後直前に出た目と異なる目が出続ける事象である．

$$∴ \quad p_2=1\cdot \left(\dfrac{5}{6} \right)^{n-1} =\left(\dfrac{5}{6} \right)^{n-1}$$

(2) さいころの目は6までなので $k\ge 7$ のときp_k=0 $2\le k \le 6$ のとき．(1)と同様に考え，手前直近のk-1個の範囲内にある目とは 異なる目が出続ける事象である．手前直近のk-1個の範囲内にある目の個数 は1回目から k 回目の試行では $0,\ 1,\ \cdots,\ k-1$個で， その後はつねに k-1個である．それら以外の目が出ればよい．

$$∴\quad p_k =\dfrac{6}{6}\cdots\cdot\dfrac{6-k+1}{6} \cdo... ...frac{6-k+2}{6} \cdot\left(\dfrac{6-k+1}{6} \right)^{n-k+1}$$

まとめて

$$p_k=\left\{ \begin{array}{ll} 0&(k\ge 7)\\ \dfrac{6}{6... ...{6} \right)^{n-k+1} &(2\le k\le 6) \end{array} \right.$$

(3)

「 n 回の試行において，同じ目が続くことはなく，しかも同じ目が出る試行 の組でちょうど2だけ離れたものが少なくとも1組存在する」という事象は，いいかえれば 「 n 回の試行のうち，同じ目が出るどの2つの試行も 2 以上離れている」事象のうちで 「 n 回の試行のうち，同じ目が出るどの2つの試行も 3 以上離れている」ことがない 事象である． ゆえにその確率は

$$p_2-p_3=\left(\dfrac{5}{6} \right)^{n-1}-\dfrac{5}{6}\left(\dfrac{4}{6} \right)^{n-2}$$