(1) 整数 $ t $ に対して \[ \dfrac{1}{3}(6t)^2+\dfrac{1}{2}(6t)=12t^2+3t \] は整数である．つまり $ (6t,\ 12t^2+3t) $ は $ y=\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{2}x $ のグラフ上の格子点である． 整数 $ t $ は無限個とれるので，グラフ上の格子点 $ (6t,\ 12t^2+3t) $ も無限個存在する．
(2) $ (k,\ l),\ (m,\ n) $ を $ y=\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{2}x $ のグラフ上の原点でない格子点とする． このグラフと $ y $ 軸に平行な直線との交点は1つなので， $ k=m $ なら2点は一致．よって $ k\ne m $ である． \[ \left\{ \begin{array}{l} l=ak^2+bk\\ n=am^2+bm \end{array} \right. \] を $ a $ と $ b $ の連立方程式と見て解くと， $ a=\dfrac{lm-kn}{km(k-m)} $ ， $ b=\dfrac{k^2n-m^2l}{km(k-m)} $ である． つまりグラフの方程式は \[ y=\dfrac{lm-kn}{km(k-m)}x^2+\dfrac{k^2n-m^2l}{km(k-m)}x \] と表せる． (1)と同様に，整数 $ t $ に対し，このグラフ上の点で $ x $ 座標が $ km(k-m)t $ であるものは格子点である． 整数 $ t $ は無限個とれるので，グラフ上の格子点も無限個存在する．