0以上の任意の整数 $ i $ に対して， $ x $ の $ i $ 次式 $ g_i(x) $ を
と定義する．$ i=0 $ のとき $ g_0(x)=1,\quad i\geqq 1 $ のとき $ g_i=\dfrac{x(x+1)\cdots(x+i-1)}{i!} $
(1) $ \displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\ (但し a_n\ne 0) $
を $ x $ に関する実数係数の $ n(\geqq 0) $ 次式とする．
このとき，等式 $ \displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^nc_ig_i(x) $
が任意の実数 $ x $ について成り立つような実数 $ c_i\ (0\leqq i\leqq n, 但し c_n\ne 0) $
が一意的に存在することを証明せよ．
(2) (1)において， $ n >0 $ のとき等式
$ \displaystyle f(x)-f(x-1)=\sum_{i=1}^nc_ig_{i-1}(x) $
が成り立つことを証明せよ．
(3) $ F(x) (\ne 0) $ を $ x $ に関する実数係数の $ n (n\geqq 0) $ 次式とし，
任意の整数 $ a $ に対して $ F(a) $ が整数であると仮定する．
このとき，等式
\[
F(x)=\sum_{i=0}^nd_ig_i(x)
\]
が任意の実数 $ x $ について成り立つような整数
$ d_i (0\leqq i\leqq n, 但し d_n\ne 0) $ が一意的に存在することを証明せよ．