(1) 条件から $ k\geqq 2 $ のとき \begin{eqnarray*} &&\left|a_{kn}-a_{(k-1)n}-a_{n} \right|< 1\\ &&\left|a_{(k-1)n}-a_{(k-2)n}-a_{n} \right|< 1\\ && \cdots\\ &&\left|a_{2n}-a_{n}-a_{n} \right|< 1 \end{eqnarray*} が成り立つ．これら $ k-1 $ 個の不等式を加え，絶対値の不等式 $ |a+b|\leqq |a|+|b| $ を用いると， \begin{eqnarray*} k-1& >&\sum_{j=2}^k\left|a_{jn}-a_{(j-1)n}-a_{n} \right| \ge \left|\sum_{j=2}^k\left\{a_{jn}-a_{(j-1)n}-a_{n}\right\} \right|\\ &=&\left|a_{kn}-a_{(k-1)n}-a_n+a_{(k-1)n}-a_{(k-2)n}-a_n +\cdots +a_{2n}-a_{n}-a_n \right|\\ &=&|a_{kn}-ka_n| \end{eqnarray*} より示された．
(2)
$ k=1 $ のとき，
$ |a_{kn}-ka_n|=0=k-1 $
なので，(1)とあわせて， $ k\geqq 1 $ において
任意の正整数 $ n $ と $ k $ に対して，
不等式\ $ |a_{kn}-ka_n|\leqq k-1 $ が成り立つ．
したがって， $ k $ と $ n $ を入れかえた
不等式\ $ |a_{kn}-na_k|\leqq n-1 $ も成り立つ．
また条件から $ |a_{n+k}-a_n-a_k|< 1 $ が成り立つので， $ n $ 倍した
$ |na_{n+k}-na_n-na_k|< n $ が成り立つ．
これら3つの不等式
\begin{eqnarray*}
&&|a_{kn}-ka_n|\leqq k-1\\
&&|na_k-a_{kn}|\leqq n-1\\
&&|na_{n+k}-na_n-na_k|< n
\end{eqnarray*}
を加えて(1)と同様の絶対値に関する不等式を用いると，
$ |na_{n+k}-(n+k)a_n|< 2n+k-2 $ が得られる．