2016年入試問題研究に戻る同大理工〔1〕（2）の一般化問題
原題
箱から玉を1個取り出し，この玉に1個の玉を新たに加えた合計2個の玉を箱に戻す試行を繰り返す． 新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする．
最初に，2個の白玉と3個の黒玉が入っている箱を考える． 新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると，3回目の試行において白玉を取り出す確率は $ 〔 〕 $ ， $ n $ 回目の試行において白玉を取り出す確率 $ P_n $ は $ 〔 〕 $ ， 極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n $ は $ 〔 〕 $ である．
次に，3個の白玉と4個の黒玉が入っている箱を考える． 新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると．3回目の試行において白玉を取り出す確率は $ 〔 〕 $ である． $ n $ 回目の試行において白玉を取り出す確率を $ Q_n $ とすると， $ Q_n $ は漸化式 $ Q_n=〔 〕Q_{n-1}+\dfrac{1}{6+n}\ (n \geqq 2) $ を満し， 極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n $ は $ 〔 〕 $ である．
本問は解答のみの問題である．結論そのものは論述なしでも見当がつく． そこで，これを一般化して次のような試行とし，いくつかの方法で漸化式を求めよう．
解答の方法2，方法3は，掲示板のかたつむりさんの投稿にもとづくものである． いろいろと教えられた．
問題の一般化
箱の中に $ a $ 個の白玉と $ b $ 個の黒玉がある．
問題1 1回の試行で箱から1個の玉を取り出し，取り出した玉と同色の玉を $ c $ 個加えて箱に戻す． $ n $ 回目の試行において白球を取り出す確率を $ P_n $ とする．
$ P_n $ の満たす漸化式と， $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n $ を求めよ．
問題2 1回の試行で箱から1個の玉を取り出し，取り出した玉と異なる色の玉を $ c $ 個加えて箱に戻す． $ n $ 回目の試行において白球を取り出す確率を $ Q_n $ とする．
$ Q_n $ の満たす漸化式と， $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n $ を求めよ．
さらに次のように一般化できる．
問題 1回の試行で箱から1個の玉を取り出して確認し箱に戻す． さらに， 取り出した玉と同じ色の玉を $ c $ 個， 取り出した玉と異なる色の玉を $ d $個，箱に加える．
$ c $ と $ d $ は負の整数でもよい． つまり玉を取り出す場合も含む． ただしその場合，取り出せなくなったところで試行を終える．
$ n $ 回目の試行において白球を取り出す確率を $ R_n $ とする． $ R_n $ の満たす漸化式と， $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}R_n $ を求めよ．