2016年入試問題研究に戻る京大理系4番解答
$ D $ と平面 $ y=t\ (0 \leqq t \leqq \log a) $ の共有領域は， \[ |x| \leqq \dfrac{e^t+e^{-t}}{2}-1, y=z=t \] で与えられる．また $ 0 \leqq t \leqq \log a $ のとき， $ \dfrac{e^t+e^{-t}}{2}-1\geqq 0 $ である．
空間の点を次のように定める． \[ \mathrm{A}\left(\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}-1,\ t,\ t \right),\ \quad \mathrm{B}\left(0,\ t,\ t \right),\ \quad \mathrm{P}\left(0,\ 0,\ t \right) \] このとき， $ \mathrm{PB}\bot \mathrm{BA} $ ， $ \mathrm{PA}^2=\mathrm{PB}^2+\mathrm{BA}^2 $ である．
この共通領域を $ y $ 軸のまわりに1回転させることは， 点 $ \mathrm{P} $ を中心として線分 $ \mathrm{BA} $ を $ \mathrm{P} $ の周りに回転させることであり， その面積 $ S(t) $ は \[ S(t)=\pi\left(\mathrm{PA}^2-\mathrm{PB}^2 \right)=\pi \mathrm{BA}^2 =\pi\left(\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}-1 \right)^2 \] である． よって図形 $ D $ を $ y $ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 $ V $ は \begin{eqnarray*} V &=&\int_0^{\log a}S(t)\, dt=\pi\int_0^{\log a}\left(\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}-1 \right)^2\, dt\\ &=&\pi\int_0^{\log a}\left\{\dfrac{e^{2t}+e^{-2t}}{4}-(e^t+e^{-t})+\dfrac{3}{2} \right\}\, dt\\ &=&\pi\biggl[\dfrac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}-e^t+e^{-t}+\dfrac{3}{2}t \biggr]_0^{\log a}\\ &=&\pi\left(\dfrac{a^2-a^{-2}}{8}-a+a^{-1}+\dfrac{3}{2}\log a \right)\\ \end{eqnarray*} である．