2017年入試問題研究に戻る奈良医後期
$ S $ を $ a+b\sqrt{2} $ （但し $ a $ ， $ b $ は整数）の形に表される数すべての集合とする． $ S $ に属する任意の数 $ z=a+b\sqrt{2} $ （但し $ a $ ， $ b $ は整数）に対して， $ N(z)=a^2-2b^2 $ とおく．
（1） $ S $ に属する任意の数 $ z $ ， $ w $ に対して， $ z+w\in S $ ， $ zw\in S $ かつ $ N(zw)=N(z)N(w) $ が成り立つことを証明せよ．
（2） $ S $ に属する零でない数 $ z=x+y\sqrt{2} $ （ $ x $ ， $ y $ は整数）の逆数 $ z^{-1} $ が $ S $ に属するための必要十分条件は， $ x^2-2y^2=1,\ -1 $ であることを証明せよ．
（3） $ 1< z < 1+\sqrt{2} $ を満たすような $ S $ の数 $ z $ で， その逆数 $ z^{-1} $ も $ S $ に属するものは存在しないことを証明せよ．
（4） $ S $ に属する零でない数 $ z $ で，その逆数 $ z^{-1} $ も $ S $ に属するものはすべて $ (1+\sqrt{2})^n $ ， $ -(1+\sqrt{2})^n $ （ $ n $ は整数）によって与えられることを証明せよ．