2017年入試問題研究に戻る奈良医後期解答
（1） $ z=x+y\sqrt{2} $ ， $ w=s+t\sqrt{2} $ とおく． $ x,\ y,\ s,\ t $ が整数のとき， $ x+s,\ y+t,\ xs+2yt,\ xt+ys $ も整数なので， \begin{eqnarray*} && z+w=x+s+(y+t)\sqrt{2}\in S\\ && zw=xs+2yt+(xt+ys)\sqrt{2}\in S \end{eqnarray*} である． \begin{eqnarray*} N(zw)&=&(xs+2yt)^2-2(xt+ys)^2=x^2s^2+4y^2t^2-2x^2t^2-2y^2s^2\\ &=&(x^2-2y^2)(s^2-2t^2)=N(z)N(w) \end{eqnarray*} である．
（2） \[ z^{-1}=\dfrac{1}{x+y\sqrt{2}}=\dfrac{x-y\sqrt{2}}{x^2-2y^2} \] が $ S $ に属するための必要十分条件は， $ a=\dfrac{x}{x^2-2y^2} $ ， $ b=\dfrac{y}{x^2-2y^2} $ がともに整数である． $ x^2-2y^2=1,\ -1 $ なら成立．逆に， $ a $ と $ b $ が整数とする．このとき \[ a^2-2b^2=\dfrac{1}{x^2-2y^2} \] が整数より， $ x^2-2y^2=1,\ -1 $ である．
（3） $ z=x+y\sqrt{2} $ とおく． 逆数 $ z^{-1} $ も $ S $ に属するとする． このとき $ |x^2-2y^2|=1 $ なので， \[ \left|\left(x+y\sqrt{2}\right)\left(x-y\sqrt{2}\right) \right| =\left|x^2-2y^2 \right|=1 \] よって $ 1< z=x+y\sqrt{2} $ なら \[ \left|x-y\sqrt{2} \right|< 1 \] つまり \[ -1< x-y\sqrt{2}< 1 \] $ 1< x+y\sqrt{2} $ と，辺々の和と差を取ることにより， $ 0< x,\ y $ を得る．つまり $ x\geqq 1 $ ， $ y\geqq 1 $ となり， $ x+y\sqrt{2}< 1+\sqrt{2} $ と矛盾する． つまり， $ 1< z< 1+\sqrt{2} $ を満たすような $ S $ の数 $ z $ で， その逆数 $ z^{-1} $ も $ S $ に属するものは存在しない．
（4） $ S $ に属する零でない数 $ z $ で， その逆数 $ z^{-1} $ も $ S $ に属するなかで，1より大きいものを考える． (3)から，このような $ z $ で最小のものは $ \alpha=1+\sqrt{2} $ であり， $ N(\alpha)=1 $ である． (1)から \[ N(\alpha^n)=N(\alpha)^n=1 \] なので， $ (1+\sqrt{2})^n $ の逆数もまた $ S $ に属する．
$ z $ もその逆数も $ S $ に属する1より大きい正の任意の数 $ z $ を取る． $ \alpha^m $ は $ \alpha $ に関して単調増加なので， \[ \alpha^m\leqq z < \alpha^{m+1} \] となる正整数 $ m $ がある．(1)より， $ z\alpha^{-m}\in S $ で，その逆数も $ S $ に属するが， \[ 1\leqq z\alpha^{-m}< \alpha=1+\sqrt{2} \] なので，(3)から， $ 1=z\alpha^{-m} $ でなければならない． よって， $ z=\alpha^m $ である．
$ z $ が1以下の正の数のときは $ z^{-1}>1 $ なので， $ z^{-1}=\alpha^m $ ，つまり $ z=\alpha^{-m} $ である．
また $z=1=1+0\cdot \sqrt{2}\in S$ で，その逆数も $S$ に属するが， $1=(1+\sqrt{2})^0$ である．
よって， $ z $ が正なら $ z=(1+\sqrt{2})^n $ となる整数 $ n $ がある．
$ z< 0 $ のときは $ -z >0 $ なので， $ -z=\alpha^n $ ，つまり， $ z=-(1+\sqrt{2})^n $ と表す整数 $ n $ がある．
よって， $ z $ とその逆数 $ z^{-1} $ も $ S $ に属するものはすべて $ (1+\sqrt{2})^n $ ， $ -(1+\sqrt{2})^n $ （ $ n $ は整数）によって与えられる．
『数論初歩』の「 ペル方程式の解の構造」にある，例6.1.3［東工大85年］を参照のこと．