2017年入試問題研究に戻る阪大理系3番解答
(1) 不等式($\mathrm{A}$)より \[ -\dfrac{2}{b^4}<\dfrac{a}{b}-\sqrt{7}<\dfrac{2}{b^4} \] である．よって \[ 2\sqrt{7}-\dfrac{2}{b^4}<\dfrac{a}{b}+\sqrt{7}<\dfrac{2}{b^4}+2\sqrt{7} \] ここで，$b\ge 2$なので， \[ \dfrac{2}{b^4}+2\sqrt{7}<\dfrac{2}{2^4}+2\cdot 2.646=5.417<6 \] である．$\dfrac{a}{b}+\sqrt{7}>0$なので， \[ \left|\dfrac{a}{b}+\sqrt{7} \right|<6 \] である．
(2) 不等式($\mathrm{A}$)と(1)より \[ \left|\dfrac{a}{b}-\sqrt{7} \right|\cdot \left|\dfrac{a}{b}+\sqrt{7} \right|<\dfrac{12}{b^4} \] つまり \[ \left|\dfrac{a^2}{b^2}-7\right|<\dfrac{12}{b^4} \] より \[ \left|a^2-7b^2\right|<\dfrac{12}{b^2} \] ここで$a^2-7b^2=0$とすると，$\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}$となり， $\sqrt{7}$が無理数であることに反する．よって$a^2-7b^2$は0でない整数である． この結果， \[ 1\le \left|a^2-7b^2\right|<\dfrac{12}{b^2} \quad \cdots(1) \] となり，$b$は \[ b^2<12 \] が必要である．つまり \[ b=2,\ 3 \] が必要である．
$b=2$のとき．$(1)$から \[ \left|a^2-28\right|<3 \] つまり \[ -3+28 < a^2 < 3+28 \] これを満たす$a$はない．
$b=3$のとき． $(1)$から \[ \left|a^2-63\right|<\dfrac{4}{3} \] これを満たすのは$a=8$である． $2.666<\dfrac{8}{3}<2.667$なので， \[ 2.666-2.646<\dfrac{8}{3}-\sqrt{7}<2.667-2.645 \] つまり \[ 0.020<\dfrac{8}{3}-\sqrt{7}<0.022 \] であるが， $0.0246<\dfrac{2}{81}<0.0247$なので， \[ -\dfrac{2}{81}<\dfrac{a}{3}-\sqrt{7}<\dfrac{2}{81} \] となり，不等式($\mathrm{A}$)を満たす． 求める$a$と$b$は以下の組である． \[ (a,\ b)=(8,\ 3) \]