2017年入試問題研究に戻る京大理系2番
四面体 $\mathrm{OABC}$ を考える．点 $\mathrm{D}，\mathrm{E}，\mathrm{F}，\mathrm{G}，\mathrm{H}，\mathrm{I}\ $は， それぞれ辺 $\mathrm{OA}，\mathrm{AB}，\mathrm{BC}，\mathrm{CO}，\mathrm{OB}，\mathrm{AC}$ 上にあり， 頂点ではないとする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{DG}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$が平行ならば $\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=\mathrm{CF}:\mathrm{FB}$ であることを示せ．
(2) $\mathrm{D}，\mathrm{E}，\mathrm{F}，\mathrm{G}，\mathrm{H}，\mathrm{I}$ が正八面体の頂点となっているとき，これらの点は $\mathrm{OABC}$ の各辺の中点であり， $\mathrm{OABC}$ は正四面体であることを示せ．