2017年入試問題研究に戻る京大理系2番解答
(1) \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c} \] とする．この3ベクトルは一次独立である．0と1の間の数$p,\ q,\ r,\ s,\ t,\ u$を用いて \[ \begin{array}{ll} \overrightarrow{\mathrm{OD}}=p\overrightarrow{a},\ & \overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-q)\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=(1-r)\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c},\ & \overrightarrow{\mathrm{OG}}=(1-s)\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\overrightarrow{b},\ & \overrightarrow{\mathrm{OI}}=(1-u)\overrightarrow{a}+u\overrightarrow{c} \end{array} \] とおく． \[ \mathrm{AE}:\mathrm{EB}=q:1-q,\quad \mathrm{CF}:\mathrm{FB}=1-r:r \] となる． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{\mathrm{DG}}&=&\overrightarrow{\mathrm{OG}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}}= -p\overrightarrow{a}+(1-s)\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{\mathrm{EF}}&=&\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}= -(1-q)\overrightarrow{a}+(1-r-q)\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c} \end{eqnarray*} これが平行なので， \[ 1-r-q=0,\ pr=(1-q)(1-s) \cdots(1) \] である．この第1式から$q=1-r$である．よって \[ \mathrm{AE}:\mathrm{EB}=\mathrm{CF}:\mathrm{FB} \] が成立する．
(2) $(1)$からさらに，$p=1-s$も成立する． D，E，F，G，H，Iが正八面体の頂点なので， 対辺がすべて平行である．同様にして， \[ \begin{array}{llll} \overrightarrow{\mathrm{DG}}\parallel\overrightarrow{\mathrm{EF}}&:q=1-r,\ p=1-s,\ & \overrightarrow{\mathrm{DE}}\parallel\overrightarrow{\mathrm{GF}}&:q=1-p,\ s=1-r\\ \overrightarrow{\mathrm{GH}}\parallel\overrightarrow{\mathrm{IE}}&:t=1-s,\ q=u,\ & \overrightarrow{\mathrm{DH}}\parallel\overrightarrow{\mathrm{IF}}&:p=t,\ 1-u=1-r\\ \overrightarrow{\mathrm{HE}}\parallel\overrightarrow{\mathrm{IG}}&:1-t=1-q,\ s=1-u,\ & \overrightarrow{\mathrm{DI}}\parallel\overrightarrow{\mathrm{HF}}&:r=1-t,\ u=1-p \end{array} \] となる．これから \[ p=q=r=s=t=u=\dfrac{1}{2} \] となり，この6点はOABCの各辺の中点である．
そしてこのとき，中線定理から \[ \mathrm{OA}=2\mathrm{EH}=2\mathrm{DE}=\mathrm{OB} \] などが成り立ち，$\mathrm{OABC}$は正四面体である．