2017年入試問題研究に戻る京大理系3番解答
$ q=1 $ のとき．ある整数 $ k $ を用いて， $ \beta=\dfrac{\pi}{4}+k\pi $ となる．このとき， \[ \tan(\alpha+2\beta)=\tan\left(\alpha+ \dfrac{\pi}{2}\right) =-\dfrac{1}{\tan \alpha}=-p \] である．よって $ \tan(\alpha+2\beta)=2 $ となる自然数 $ p $ は存在しない．
以下， $ q\geqq 2 $ とする． \[ \tan(\alpha+2\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan2\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta}=2 \] で， \[ \tan2\beta=\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\dfrac{2q}{q^2-1} \] なので，条件式は \[ \dfrac{1}{p}+\dfrac{2q}{q^2-1}=2-\dfrac{4q}{p(q^2-1)} \] となる．これより， \[ q^2-1+2pq=2p(q^2-1)-4q \quad \cdots(1) \] つまり \[ p=\dfrac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)} \] である． $ p\geqq 1 $ が必要である． $ q\geqq 2 $ なので， $ q^2-q-1 >0 $ である． よって $ \dfrac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}\geqq 1 $ より \[ q^2+4q-1\geqq 2(q^2-q-1) \] これより， \[ 2\leqq q \leqq 3+\sqrt{10} \] つまり \[ 2\leqq q \leqq 6 \] さらに $ (1) $ から $ q^2-1 $ は偶数なので， \[ q=3,\ 5 \] である．(i) $ q=3 $ のとき． $ p=2 $ となる．
(ii) $ q=5 $ のとき． $ p=\dfrac{44}{38} $ となり不適である．よって，条件を満たす $ p,\ q $ の組は $ (p,\ q)=(2,\ 3) $ である．