2017年入試問題研究に戻る京大文系2番解答
(1) $101$ 桁の自然数で最小のものが $ 10^{100} $ であるあるから， $ 100 $ 桁以下の自然数で， $ 2 $ 以外の素因数を持たないものの個数は \[ 1 \leqq 2^n< 10^{100} \] となる $ n $ の個数である．これより \[ 0\leqq n \log 2 < 100 \quad つまり 0\leqq n<\dfrac{100}{\log 2} \] となる．ここで \[ \dfrac{100}{0.3011}=332.1\cdots <\dfrac{100}{\log 2}<\dfrac{100}{0.3010}=332.2\cdots \] なので $ 0\leqq n\leqq 332 $ となり， $ 333 $ 個である．
(2) (i) $ 0 $ 以上の自然数 $ p $ を \[ 1 \leqq 2^p< 10^{100} \] となるようにとる． $ 2^p $ が $ k $ 桁であるとする．つまり \[ 10^{k-1}\leqq 2^p< 10^k \] となる．これより， \[ 10^{99}\leqq 2^p\cdot 10^{100-k}<10^{100} \] ここで， $ 2^n\cdot 10^{100-k} =2^{p+100-k}\cdot5^{100-k} $ なので， $ n $ に対して， $ 100 $ 桁の自然数で， $ 2 $ と $ 5 $ 以外の素因数を持たないものが $ 1 $ 個定まる． そして \[ 素因数2の個数=p+100-k\geqq 100-k=素因数5の個数 \] である．
(ii) 次に， $ 0 $ 以上の自然数 $ q $ を \[ 1 \leqq 5^q< 10^{100} \] となるようにとる． $ 5^q $ が $ k $ 桁であるとする．つまり \[ 10^{k-1}\le 5^q< 10^k \] となる．これより， \[ 10^{99}\leqq 5^q\cdot 10^{100-k}<10^{100} \] ここで， $ 5^q\cdot 10^{100-k} =2^{100-k}\cdot5^{q+100-k} $ なので， $ m $ に対して， $ 100 $ 桁の自然数で， $ 2 $ と $ 5 $ 以外の素因数を持たないものが $ 1 $ 個定まる． そして \[ 素因数2の個数=100-k\leqq q+100-k=素因数5の個数 \] である．
(i)の $ p $ は(1)から $ 333 $ 個とれる． (ii)の $ q $ は(1)と同様にして \[ 0\leqq q<\dfrac{100}{\log 5}=\dfrac{100}{1-\log 2} \] で \[ \dfrac{100}{1-0.3010}=143.061\cdots <\dfrac{100}{\log 5}<\dfrac{100}{1-0.3011}=143.08\cdots \] なので $ 0\leqq q\leqq 143 $ より， $ q $ は $ 144 $ 個である．
(i)と(ii)で重なる可能性があるのは， 素因数 $ 2 $ の個数と素因数 $ 5 $ の個数が一致する場合で， $ p=q=0 $ ， $ k=1 $ ，つまり， $ 2 $ が $ 99 $ 個と $ 5 $ が $ 99個 $ の場合の $ 1 $ 個である．
よって， $ 100 $ 桁の自然数で， $ 2 $ と $ 5 $ 以外の素因数を持たないものの個数は \[ 333+144-1=476\ (個) \] である．
(2)の別解 (1)と同様に考え \[ 10^{99}\leqq 2^n5^m< 10^{100} \] をみたす $ (n,\ m) $ の個数が求める個数である． これから， \[ 99 \leqq n \log 2+m \log 5 < 100 \] (i) $ n\geqq m $ のとき． \[ n \log 2+m \log 5=n \log 2+m(1- \log 2)=(n-m)\log 2+m \] より， \[ 99-m \leqq (n-m) \log 2 < 100-m \] ここで $ n-m $ の値を決めると， $ (n-m) \log 2 $ の整数部分が $ 99-m $ となるように $ m $ が決まり， それから $ n $ も決まる． $ (n-m) \log 2 $ の値のとりうる範囲は， $ m $ が $ 0\leqq m $ かつ $ 0< 100-m $ にとれる範囲であり， \[ 0\leqq (n-m) \log 2<100 \] である．(1)から $ 333 $ 個ある．
(ii) $ n\leqq m $ のとき． \[ n \log 2+m \log 5=n(1- \log 5)+m \log 5=(m-n)\log 5+n \] より，同様に $ m-n $ を決めればすべて決まる．その範囲は \[ 0\leqq (m-n) \log 5< 100 \] である． \[ 0\leqq m-n< \dfrac{100}{\log 5}=\dfrac{100}{1-\log 2} \] で \[ \dfrac{100}{1-0.3010}=143.061\cdots <\dfrac{100}{\log 5}<\dfrac{100}{1-0.3011}=143.08\cdots \] なので $ 0\leqq m-n\leqq 143 $ より， $ m-n $ は $ 144 $ 個である．
i)，ii)で重なるのは $ n=m $ のときで，このときは， \[ 10^{99}\leqq (2\cdot5)^n< 10^{100} \] より $ m=n=99 $ の場合の1個りである．
よって， $ 100 $ 桁の自然数で， $ 2 $ と $ 5 $ 以外の素因数を持たないものの個数は \[ 333+144-1=476\ (個) \] である．※注意 (2)の解の $ p $ と $ q $ が，別解の $ n-m $，$ m-n $ に一致する．