2017年入試問題研究に戻る神大理系4番
$ \overrightarrow{v_1}=(1,\ 1,\ 1) $ ， $ \overrightarrow{v_2}=(1,\ -1,\ -1) $ ， $ \overrightarrow{v_3}=(-1,\ 1,\ -1) $ ， $ \overrightarrow{v_4}=(-1,\ -1,\ 1) $ とする． 座標空間内の動点Pが原点Oから出発し，正四面体のサイコロ (1，2，3，4 の目がそれぞれ確率 $ \dfrac{1}{4} $ で出る) をふるごとに，出た目が $ k\ (k=1,2,3,4) $ のときは $ \overrightarrow{v_k} $ だけ移動する． すなわち，サイコロを $ n $ 回ふった後の動点Pの位置を $ \mathrm{P}_n $ として，サイコロを $ (n+1) $ 回目にふって出た目が $ k $ ならば \[ \overrightarrow{\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}}=\overrightarrow{v_k} \] である．ただし， $ \mathrm{P}_0=\mathrm{O} $ である．以下の問に答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}_2 $ が $ x $ 軸上にある確率を求めよ．
(2) $ \overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_2}\bot \overrightarrow{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_4} $ となる確率を求めよ．
(3) 4点 $\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$ が同一平面上にある確率を求めよ．
(4) $ n $ を6以下の自然数とする．$\mathrm{P} _n=\mathrm{O} $ となる確率を求めよ．